Untuk tiap bilangan m dan n didefinisikan m !! n = m²-n². Jika p dan q adalah bilangan bulat positif yang berbeda, mana penyataan berikut yang bisa negatif? (1) p!!q (2) (p+q)!!p (3) p!!(p+q) (4) (p!!q)2 (A) (1), (2), dan (3) SAJA yang benar (B) (1) dan (3) SAJA yang benar (C) (2) dan (4) SAJA yang benar (D) HANYA (4) yang benar (E) SEMUA pilihan benar

Jawaban yang benar adalah (B) (1) dan (3) SAJA yang benar Asumsi soal : (4) (p!!q)² Ingat pemfaktoran : a² - b² = (a + b)(a - b) Pembahasan : p dan q adalah bilangan bulat positif yang berbeda (1) p!!q = p² – q² p!!q = (p+q) (p - q) Misalkan p < q, maka : p - q < 0 (p+q)(p-q) < 0 p!!q < 0 Maka nilai dari p!!q negatif (2) (p+q)!!q = (p+q)² – q² (p+q)!!q = ((p+q) +q) ((p+q) - q) (p+q)!!q = (p+2q)(p) Karena p dan q > 0 maka : p+2q > 0 (p+2q)p > 0 (p+q)!!q > 0 Untuk setiap p dan q bilangan bulat positif nilai (p+q)!!q selalu positif (3) p!!(p+q) = p²–(p+q)² p!!(p+q) = (p + (p+q)) (p – (p+q)) p!!(p+q) = (2p+q) (p - p - q) p!!(p+q) = (2p+q)(-q) Karena q adalah bilangan bulat positif : q > 0 (dikali (-1), karena dikali bilangan negatif tanda dibalik) -q < 0 (2p+q)(-q) < 0 p!!(p+q) < 0 Untuk setiap p, q > 0 berlaku p!!(p+q) < 0 (4) (p!!q)² = (p² – q²)² Untuk setiap bilangan real a berlaku a² ≥ 0 Karena p dan q bilangan bulat positif maka (p²-q²) adalah bilangan real, sehingga : (p²-q²)² ≥ 0 (p!!q)² ≥ 0 Untuk setiap p dan q bilangan bulat positif berlaku (p!!q)² ≥ 0 Jadi pernyataan yang bisa bernilai negatif adalah (1) dan (3) Oleh karena itu jawaban yang benar adalah B