Erika S
30 Juli 2025 13:43
Iklan
Erika S
30 Juli 2025 13:43
Pertanyaan
jika fx dibagi dengan x+1 dan x-1 ,maka sisa berturut turut adalah -3 dan 5 , berapakah sisanya bila fx dibagi x²-1?
Dengan menggunakan cara horner
2
1
Iklan
Happy S
30 Juli 2025 15:16
Diketahui:
f(x) dibagi (x+1) sisanya −3. Ini berarti f(−1)=−3.
f(x) dibagi (x−1) sisanya 5. Ini berarti f(1)=5.
Kita ingin mencari sisa f(x) dibagi x2−1. Perhatikan bahwa x2−1=(x−1)(x+1).
Misalkan sisa pembagian f(x) oleh x2−1 adalah S(x)=ax+b. Menurut teorema sisa, jika f(x) dibagi oleh suatu pembagi P(x) dan hasil baginya H(x) serta sisanya S(x), maka dapat ditulis f(x)=P(x)⋅H(x)+S(x).
Dalam kasus ini: f(x)=(x2−1)⋅H(x)+(ax+b) f(x)=(x−1)(x+1)⋅H(x)+ax+b
Sekarang kita gunakan informasi yang diberikan:
Untuk x=1: f(1)=(1−1)(1+1)⋅H(1)+a(1)+b f(1)=0⋅H(1)+a+b f(1)=a+b Kita tahu f(1)=5, jadi: a+b=5(Persamaan 1)
Untuk x=−1: f(−1)=(−1−1)(−1+1)⋅H(−1)+a(−1)+b f(−1)=(−2)(0)⋅H(−1)−a+b f(−1)=−a+b Kita tahu f(−1)=−3, jadi: −a+b=−3 (Persamaan 2)
Sekarang kita memiliki sistem persamaan linear:
a+b=5
−a+b=−3
Jumlahkan Persamaan 1 dan Persamaan 2: (a+b)+(−a+b)=5+(−3) 2b=2 b=1
Substitusikan nilai b=1 ke Persamaan 1: a+1=5 a=5−1 a=4
Jadi, sisa pembagian f(x) oleh x2−1 adalah S(x)=ax+b=4x+1.
Menggunakan Cara Horner (secara konseptual, karena Horner lebih sering digunakan untuk pembagian polinomial oleh (x−k)):
Meskipun cara Horner tidak secara langsung digunakan untuk membagi oleh x2−1, kita dapat melihatnya sebagai aplikasi dari teorema sisa yang mendasari Horner.
Ketika f(x) dibagi x−k, sisa pembagian adalah f(k). Ini adalah dasar dari cara Horner.
Pembagian dengan (x−1): Ketika f(x) dibagi (x−1), sisanya adalah f(1). Jika kita menggunakan Horner, sisa terakhir yang didapat adalah f(1). Diketahui f(1)=5.
Pembagian dengan (x+1): Ketika f(x) dibagi (x+1), sisanya adalah f(−1). Jika kita menggunakan Horner, sisa terakhir yang didapat adalah f(−1). Diketahui f(−1)=−3.
Konsep di balik ini adalah jika kita membagi f(x) dengan x2−1, kita dapat melihatnya sebagai pembagian bertahap:f(x)=(x−1)⋅Q1(x)+R1 (dimana R1=5) Kemudian, Q1(x) dibagi dengan (x+1): Q1(x)=(x+1)⋅Q2(x)+R2
Atau, kita bisa menulis f(x)=(x+1)⋅Q3(x)+R3 (dimana R3=−3) Dan Q3(x) dibagi dengan (x−1): Q3(x)=(x−1)⋅Q4(x)+R4
Namun, untuk mendapatkan sisa dalam bentuk ax+b ketika dibagi oleh x2−1, metode yang paling langsung adalah menggunakan teorema sisa seperti yang telah dijelaskan di atas, yang secara implisit menggunakan hasil dari "Horner" (yaitu, nilai fungsi pada titik tertentu).
Jadi, dengan menggunakan informasi dari teorema sisa yang didapatkan dari pembagian menggunakan cara Horner (atau secara langsung dari definisi teorema sisa): f(1)=a(1)+b=5 f(−1)=a(−1)+b=−3
Menyelesaikan sistem persamaan ini memberikan a=4 dan b=1.
Kesimpulan: Sisa pembagian f(x) bila dibagi x2−1 adalah 4x+1.
semoga membantu 💗💗
· 0.0 (0)
Iklan
Tanya ke AiRIS
Yuk, cobain chat dan belajar bareng AiRIS, teman pintarmu!

LATIHAN SOAL GRATIS!
Drill Soal
Latihan soal sesuai topik yang kamu mau untuk persiapan ujian


Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!