Diketahui garis singggung kurva y = x³ + x² + a pada titik x =a dengan a< 0, membentuk sudut terhadap sumbu-x sebesar 45°. Luas daerah yang dibatasi garis singgung tersebut dengan garis y =ax+ a dan sumbu-x adalah ... (A) 5/9 (B) 9/4 (C) 49/324 (D) 98/49 (E) 98/324

Halo Fania K, terima kasih sudah bertanya di Roboguru. Kakak bantu jawab ya :) Jawaban: 1/4 satuan luas (tidak ada dalam pilihan jawaban). Ingat! Gradien garis singgung f(x) di titik (a,b) adalah f'(a). Gradien garis yang membentuk sudut α terhadap sumbu X adalah tan α. Turunan pertama fungsi f(x) = axⁿ adalah f'(x) = n.a.x^(n-1). Persamaan garis yang melalui titik (x1,y1) dengan gradien m adalah y-y1 = m(x-x1). Diketahui: garis singggung kurva y = x³ + x² + a pada titik x = a dengan a< 0, membentuk sudut terhadap sumbu-x sebesar 45°. Berdasarkan konsep di atas, maka diperoleh gradien = tan 45° gradien = 1. gradien = y'(a). y' = 3x²+2x y'(a) = 3.a²+2.a y'(a) = 3a²+2a Sehingga 3a²+2a = 1 3a²+2a-1 = 0 (faktorkan) 3a²+3a-a-1= 0 3a(a+1)-(a+1) = 0 (3a-1)(a+1) = 0 Diperoleh 3a-1 = 0 ⇔ a = 1/3 a+1 = 0 ⇔ a = -1 Karena pada soal di atas a< 0, maka pilih a = -1. Substitusikan a = -1 ke y = x³ + x² + a menjadi y = x³ + x² - 1. Pada titik x = a = -1 diperoleh nilai y = (-1)³ + (-1)² - 1 = -1+1-1 = -1. Persamaan garis singgung tersebut adalah persamaan garis yang melalui titik (-1,-1) dan gradien m = 1. y-y1 = m(x-x1) y-(-1) = 1(x-(-1)) y+1 = 1(x+1) y+1 = x+1 y = x. Substitusikan a = -1 ke garis y = ax+ a. y = -1.x+(-1) y = -x-1. Gambarkan pada bidang kartesius garis y = x dan y = -x-1. Dengan demikian, daerah yang dibatasi garis y = x dengan garis y = -x-1 dan sumbu-x adalah seperti gambar di bawah ini. Daerah tersebut berbentuk segitiga dengan panjang alas = 1 dan tinggi = 1/2. Luas = 1/2. at Luas = 1/2. 1.1/2 Luas = 1/4 Jadi, jawaban yang benar adalah 1/4 satuan luas (tidak ada dalam pilihan jawaban). Semoga terbantu ya :)