Diketahui garis singggung kurva y = x³ + x² + a pa...

Question

Diketahui garis singggung kurva  y = x³ + x² + a pada
titik x =a dengan a< 0, membentuk sudut terhadap
sumbu-x sebesar 45°. Luas daerah yang dibatasi
garis singgung tersebut dengan garis y =ax+ a dan
sumbu-x adalah ...
(A) 5/9
(B) 9/4
(C) 49/324
(D) 98/49
(E) 98/324

L. Nikmah · Accepted Answer

Halo Fania K, terima kasih sudah bertanya di Roboguru.
Kakak bantu jawab ya :)

Jawaban: 1/4 satuan luas (tidak ada dalam pilihan jawaban).

Ingat!
Gradien garis singgung f(x) di titik (a,b) adalah f'(a).
Gradien garis yang membentuk sudut α terhadap sumbu X adalah tan α.
Turunan pertama fungsi f(x) = axⁿ adalah f'(x) = n.a.x^(n-1).
Persamaan garis yang melalui titik (x1,y1) dengan gradien m adalah y-y1 = m(x-x1).

Diketahui:
garis singggung kurva y = x³ + x² + a pada titik x = a dengan a< 0, membentuk sudut terhadap sumbu-x sebesar 45°.

Berdasarkan konsep di atas, maka diperoleh
gradien = tan 45°
gradien = 1.

gradien = y'(a).
y' = 3x²+2x
y'(a) = 3.a²+2.a
y'(a) = 3a²+2a

Sehingga
3a²+2a = 1
3a²+2a-1 = 0 (faktorkan) 
3a²+3a-a-1= 0
3a(a+1)-(a+1) = 0
(3a-1)(a+1) = 0
Diperoleh 
3a-1 = 0 ⇔ a = 1/3
a+1 = 0 ⇔ a = -1
Karena pada soal di atas a< 0, maka pilih a = -1.

Substitusikan a = -1 ke y = x³ + x² + a menjadi y = x³ + x² - 1.

Pada titik x = a = -1 diperoleh nilai y = (-1)³ + (-1)² - 1 = -1+1-1 = -1.

Persamaan garis singgung tersebut adalah persamaan garis yang melalui titik (-1,-1) dan gradien m = 1.
y-y1 = m(x-x1)
y-(-1) = 1(x-(-1))
y+1 = 1(x+1)
y+1 = x+1
y = x.

Substitusikan a = -1 ke garis y = ax+ a.
y = -1.x+(-1)
y = -x-1.

Gambarkan pada bidang kartesius garis y = x dan y = -x-1.

Dengan demikian, daerah yang dibatasi garis y = x dengan garis y = -x-1 dan sumbu-x adalah seperti gambar di bawah ini.
Daerah tersebut berbentuk segitiga dengan panjang alas = 1 dan tinggi = 1/2.
Luas = 1/2. at
Luas = 1/2. 1.1/2
Luas = 1/4

Jadi, jawaban yang benar adalah 1/4 satuan luas (tidak ada dalam pilihan jawaban).
Semoga terbantu ya :)

Diketahui garis singggung kurva y = x³ + x² + a pada titik x =a dengan a< 0, membentuk sudut terhadap sumbu-x sebesar 45°. Luas daerah yang dibatasi garis singgung tersebut dengan garis y =ax+ a dan sumbu-x adalah ... (A) 5/9 (B) 9/4 (C) 49/324 (D) 98/49 (E) 98/324

Mau pemahaman lebih dalam untuk soal ini?

Pertanyaan serupa