Diketahui 𝑓−1(𝑥) merupakan fungsi invers dari 𝑓(𝑥). Nilai 𝑥 yang memnuhi sistem persamaan 2(𝑓−1(𝑥))2 − 𝑓−1(𝑥) = 6 dan 𝑓(𝑥) = 𝑥+ 4 2 adalah

<p>Kita mulai dengan menggunakan informasi yang diberikan bahwa f¹(x) = 6. Ini berarti bahwa jika kita menerapkan fungsi invers f-1 pada nilai x, kita akan mendapatkan hasil 6:</p><p>f-1(x) = 6</p><p>Selanjutnya, kita diberikan informasi bahwa f(x) = ***. Kita tidak tahu nilai sebenarnya dari f(x), namun kita bisa menggunakan variabel a untuk mewakilinya:</p><p>f(x) = a</p><p>Kita tahu bahwa f-1(x) adalah fungsi invers dari f(x), yang berarti jika kita menerapkan fungsi f-1 pada nilai f(x), kita akan mendapatkan nilai x kembali:</p><p>f-1(f(x)) = x</p><p>Namun, kita juga dapat mengekspresikan f-1(f(x)) sebagai x menggunakan definisi fungsi invers:</p><p>f-1(f(x)) = x = f¹(x)</p><p>Kita tahu bahwa f¹(x) = 6, sehingga kita dapat menulis:</p><p>f-1(f(x)) = x = 6</p><p>Kembali ke ekspresi f(x) = a, kita dapat menggabungkannya dengan persamaan di atas untuk mendapatkan:</p><p>f-1(a) = 6</p><p>Ini berarti bahwa nilai a harus sama dengan f(6), karena jika kita menerapkan fungsi f pada nilai 6, kita akan mendapatkan nilai a:</p><p>f(6) = a</p><p>Dengan menggabungkan semua informasi ini, kita dapat menyelesaikan soal. Pertama-tama, kita perlu menemukan nilai a. Kita tidak memiliki informasi yang cukup untuk menentukannya secara pasti, namun kita dapat mengekspresikannya sebagai persamaan:</p><p>f(x) = (x+4)/(2a)</p><p>Kita juga tahu bahwa f-1(x) = 6, sehingga kita dapat mengekspresikannya sebagai persamaan:</p><p>f-1(x) = (x+4)/(2f-1(x)) = 6</p><p>Kita dapat menyelesaikan persamaan ini untuk mendapatkan nilai f-1(x):</p><p>(x+4)/(2f-1(x)) = 6</p><p>2f-1(x) = x+4/6</p><p>f-1(x) = (x+4)/12</p><p>Sekarang kita dapat menyelesaikan soal dengan menggabungkan persamaan untuk f(x) dan f-1(x):</p><p>(x+4)/(2a) = (x+4)/12</p><p>Kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan mengalikan kedua sisi dengan 12a:</p><p>6(x+4) = 2a(x+4)</p><p>6x + 24 = 2ax + 8a</p><p>Kita dapat mengelompokkan semua x di satu sisi dan semua a di sisi lainnya:</p><p>2ax - 6x = 16a - 24</p><p>x(2a - 6) = 16a - 24</p><p>x = (16a - 24)/(2a - 6)</p><p>Kita tahu bahwa x harus sama dengan 3 atau 1, sehingga kita dapat menyelesaikan persamaan di atas untuk mendapatkan nilai a yang memenuhi salah satu dari dua nilai ini:</p><p>Jika x = 3:</p><p>3 = (16a - 24)/(2a - 6)</p><p>6a - 18 = 16a - 24</p><p>10a = 6</p><p>a = 0.6</p><p>Jika x = 1:</p><p>1 = (16a - 24)/(2a - 6)</p><p>2a - 6 = 16a - 24</p><p>14a = 18</p><p>a = 1.2857...</p><p>Dari kedua nilai a di atas, hanya a = 0.6 yang memenuhi opsi jawaban yang diberikan, yaitu A. Oleh karena itu, nilai x yang memenuhi f¹(x) = 6 dan f(x) = *** adalah:</p><p>x = (16a - 24)/(2a - 6) = (16(0.6) - 24)/(2(0.6) - 6) = 3</p><p>Jadi, jawabannya adalah A. 3 - atau 1.</p>