A adalah himpunan bilangan bulat ((ℤ), dan x adalah suatu bilangan bulat positif. Didefinisikan aRb, 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛). Tunjukkan apakah R adalah relasi ekuivalen

<p>Untuk menunjukkan apakah R adalah relasi ekuivalen, kita harus memeriksa apakah R memenuhi tiga sifat berikut:</p><p>Refleksif: Setiap elemen dalam himpunan A berhubungan dengan dirinya sendiri dalam relasi R.</p><p>Simetris: Jika aRb maka bRa.</p><p>Transitif: Jika aRb dan bRc, maka aRc.</p><p>Pertama, untuk sifat refleksif, kita perlu memeriksa apakah setiap bilangan bulat dalam himpunan A berhubungan dengan dirinya sendiri dalam relasi R, yaitu apakah aRa untuk setiap a ∈ A. Dalam kasus ini, kita harus memeriksa apakah a ≡ a (mod n) untuk setiap bilangan bulat a dan n. Karena a - a = 0, maka 0 harus dapat dibagi dengan n untuk memenuhi sifat refleksif. Oleh karena itu, sifat refleksif terpenuhi.</p><p>Kedua, untuk sifat simetris, kita perlu memeriksa apakah aRb berarti bRa, yaitu apakah a ≡ b (mod n) berarti b ≡ a (mod n). Karena kongruensi modulus n bersifat simetris, maka sifat simetris juga terpenuhi.</p><p>Ketiga, untuk sifat transitif, kita perlu memeriksa apakah aRb dan bRc berarti aRc, yaitu apakah a ≡ b (mod n) dan b ≡ c (mod n) berarti a ≡ c (mod n). Karena sifat kongruensi memungkinkan kita untuk menambahkan, mengurangi, dan mengalikan persamaan kongruen dengan bilangan bulat, maka sifat transitif juga terpenuhi.</p><p>Karena semua sifat yang diperlukan untuk relasi ekuivalen terpenuhi, maka R adalah relasi ekuivalen.</p>