Pertanyaan

SBMPTN 2014/SAINTEK/512/8 Jika f ( x ) = 1 + sin x + sin 2 x + sin 3 x + ... dengan 0 ≤ x ≤ 4 π , maka ∫ 0 4 π f ( x ) d x = ...

SBMPTN 2014/SAINTEK/512/8

Jika $f (x) = 1 + sin x + sin^{2} x + sin^{3} x + ...$ dengan $0 \leq x \leq \frac{π}{4}$ , maka $\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (x) d x = ...$

$- 2$
$- 1$
$0$
$1$
$2$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah D.

Pembahasan

Ingat! Rumus deret tak hingga: S ∞ = 1 − r a Definisi integral tentu: ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) Integral fungsi trigonometri: ∫ se c 2 x d x = tan x + C ∫ sec x tan x d x = sec x + C Deret pada soal merupakan deret geometri tak hingga dengan a = 1 dan r = sin x dengan ∣ sin x ∣ < 1 , maka: f ( x ) = = = = = = = 1 − r a 1 − s i n x 1 1 − s i n x 1 × 1 + s i n x 1 + s i n x 1 − s i n 2 x 1 + s i n x c o s 2 x 1 + s i n x c o s 2 x 1 + c o s x s i n x . c o s x 1 se c 2 x + tan x sec x Karena f ( x ) = se c 2 x + tan x sec x maka ∫ 0 4 π f ( x ) d x = ∫ 0 4 π ( se c 2 x + sec x tan x ) d x = [ tan x + sec x ] 0 4 π = ( tan 4 π + sec 4 π ) − ( tan 0 + sec 0 ) = ( 1 + 2 ) − ( 0 + 1 ) = 1 + 2 − 1 = 2 Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah D.

Ingat!

Rumus deret tak hingga:

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

Definisi integral tentu:

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$

Integral fungsi trigonometri:

$\int se c^{2} x d x = tan x + C$
$\int sec x tan x d x = sec x + C$

Deret pada soal merupakan deret geometri tak hingga dengan $a = 1$ dan $r = sin x$ dengan $∣ sin x ∣ < 1$ , maka:

$f (x) = = = = = = = \frac{a}{1 - r} \frac{1}{1 - s i n x} \frac{1}{1 - s i n x} \times \frac{1 + s i n x}{1 + s i n x} \frac{1 + s i n x}{1 - s i n ^{2} x} \frac{1 + s i n x}{c o s ^{2} x} \frac{1}{c o s ^{2} x} + \frac{s i n x}{c o s x} . \frac{1}{c o s x} se c^{2} x + tan x sec x$

Karena $f (x) = se c^{2} x + tan x sec x$ maka

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} (se c^{2} x + sec x tan x) d x = [tan x + sec x]_{0}^{\frac{π}{4}} = (tan \frac{π}{4} + sec \frac{π}{4}) - (tan 0 + sec 0) = (1 + 2) - (0 + 1) = 1 + 2 - 1 = 2$