Pertanyaan

Persamaan x 3 − 3 x 2 − x + a = 0 mempunyai 2 akar yg berlawanan. Tentukan nilai a!

Persamaan $x^{3} - 3 x^{2} - x + a = 0$ mempunyai $2$ akar yg berlawanan. Tentukan nilai a!

S. Ayu

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Prof. DR. Hamka

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Misal akar-akar polinom adalah , , dan . Dengan , , , dan . Diketahui bahwa polinom tersebut mempunyai dua akar berlawanan, sehingga: Gunakan rumus penjumlahan akar-akar. Karena , diperoleh: Kemudian pada perkalian akar-akar diperoleh: Maka, nilai .

Misal akar-akar polinom begin mathsize 14px style x cubed minus 3 x squared minus x plus a equals 0 end style adalah begin mathsize 14px style x subscript 1 end style , , dan .

Dengan begin mathsize 14px style a equals 1 end style , begin mathsize 14px style b equals negative 3 end style , begin mathsize 14px style c equals negative 1 end style , dan begin mathsize 14px style d equals a end style .

Diketahui bahwa polinom tersebut mempunyai dua akar berlawanan, sehingga:

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x subscript 1 end cell equals cell negative x subscript 2 end cell row cell x subscript 1 plus x subscript 2 end cell equals 0 end table end style

Gunakan rumus penjumlahan akar-akar.

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x subscript 1 plus x subscript 2 plus x subscript 3 end cell equals cell negative b over a end cell row cell 0 plus x subscript 3 end cell equals cell negative fraction numerator open parentheses negative 3 close parentheses over denominator 1 end fraction end cell row cell x subscript 3 end cell equals 3 end table end style$

Karena begin mathsize 14px style x subscript 3 equals 3 end style , diperoleh:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x subscript 1 times x subscript 2 plus x subscript 1 times x subscript 3 plus x subscript 2 times x subscript 3 end cell equals cell c over a end cell row cell x subscript 1 times x subscript 2 plus open parentheses x subscript 1 plus x subscript 2 close parentheses times x subscript 3 end cell equals cell fraction numerator negative 1 over denominator 1 end fraction end cell row cell x subscript 1 times x subscript 2 plus open parentheses 0 close parentheses open parentheses 3 close parentheses end cell equals cell negative 1 end cell row cell x subscript 1 times x subscript 2 plus 0 end cell equals cell negative 1 end cell row cell x subscript 1 times x subscript 2 end cell equals cell negative 1 end cell end table end style$

Kemudian pada perkalian akar-akar diperoleh:

Maka, nilai begin mathsize 14px style a equals negative 3 end style .