Pertanyaan

Jika x → 3 lim x 2 − 5 x + 6 x 2 + a x + b = 5 , maka nilai dari a − b adalah ....

Jika $x \to 3 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x ^{2} - 5 x + 6} = 5$ , maka nilai dari $a - b$ adalah ....

N. Syafriah

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah C.

Pembahasan

Misalkan sehingga . Akan dicek nilai dari terlebih dahulu. Perhatikan bahwapenyebut dari bernilai 0, tapi nilai ada. Akibatnya, dapat diasumsikan bahwa hasil substitusi langsung dari limt fungsi tersebut adalah bentuk tak tentu,yaitu sehingga pembilang dari juga bernilai 0. Karena nilai untuk , maka merupakan salah satu faktor dari persamaan tersebut. Misal faktorlainnya adalah , maka didapat . Kemudian, perhatikan perhitungan berikut! Didapat nilai p = 2 sehingga bentuk x 2 + a x + b dapat dilengkapi sebagai berikut. Berdasarkan perhitungan di atas,didapat nilai dan . Dengan demikian, nilai a − b dapat ditentukan denganperhitungan sebagai berikut. Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

Misalkan $begin mathsize 14px style f open parentheses x close parentheses equals fraction numerator x squared plus a x plus b over denominator x squared minus 5 x plus 6 end fraction end style$ sehingga . Akan dicek nilai dari terlebih dahulu.

$begin mathsize 14px style f open parentheses x close parentheses equals fraction numerator x squared plus a x plus b over denominator x squared minus 5 x plus 6 end fraction f open parentheses 3 close parentheses equals fraction numerator 3 squared plus a open parentheses 3 close parentheses plus b over denominator 3 squared minus 5 open parentheses 3 close parentheses plus 6 end fraction f open parentheses 3 close parentheses equals fraction numerator 9 plus 3 a plus b over denominator 9 minus 15 plus 6 end fraction f open parentheses 3 close parentheses equals fraction numerator 9 plus 3 a plus b over denominator 0 end fraction end style$

Perhatikan bahwa penyebut dari bernilai 0, tapi nilai ada.

Akibatnya, dapat diasumsikan bahwa hasil substitusi langsung dari limt fungsi tersebut adalah bentuk tak tentu, yaitu sehingga pembilang dari juga bernilai 0.

Karena nilai untuk , maka merupakan salah satu faktor dari persamaan tersebut.

Misal faktor lainnya adalah , maka didapat .

Kemudian, perhatikan perhitungan berikut!

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow 3 of invisible function application f open parentheses x close parentheses end cell equals 5 row cell limit as x rightwards arrow 3 of invisible function application fraction numerator x squared plus a x plus b over denominator x squared minus 5 x plus 6 end fraction end cell equals 5 row cell limit as x rightwards arrow 3 of invisible function application fraction numerator open parentheses x minus 3 close parentheses open parentheses x plus p close parentheses over denominator open parentheses x minus 3 close parentheses open parentheses x minus 2 close parentheses end fraction end cell equals 5 row cell limit as x rightwards arrow 3 of invisible function application fraction numerator open parentheses x minus 3 close parentheses open parentheses x plus p close parentheses over denominator open parentheses x minus 3 close parentheses open parentheses x minus 2 close parentheses end fraction end cell equals 5 row cell limit as x rightwards arrow 3 of invisible function application fraction numerator x plus p over denominator x minus 2 end fraction end cell equals 5 row cell fraction numerator 3 plus p over denominator 3 minus 2 end fraction end cell equals 5 row cell fraction numerator 3 plus p over denominator 1 end fraction end cell equals 5 row cell 3 plus p end cell equals 5 row cell 3 plus p minus 3 end cell equals cell 5 minus 3 end cell row p equals 2 end table$

Didapat nilai $p = 2$ sehingga bentuk $x^{2} + a x + b$ dapat dilengkapi sebagai berikut.

x squared plus a x plus b equals open parentheses x minus 3 close parentheses open parentheses x plus p close parentheses x squared plus a x plus b equals open parentheses x minus 3 close parentheses open parentheses x plus 2 close parentheses x squared plus a x plus b equals x squared minus 3 x plus 2 x minus 6 x squared plus a x plus b equals x squared minus x minus 6

Berdasarkan perhitungan di atas, didapat nilai dan .

Dengan demikian, nilai $a - b$ dapat ditentukan dengan perhitungan sebagai berikut.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell a minus b end cell equals cell negative 1 minus left parenthesis negative 6 right parenthesis end cell row blank equals cell negative 1 plus 6 end cell row blank equals 5 end table end style

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.