Pertanyaan

Jika tan ( A − B ) = 1 dan sec ( A + B ) = 3 2 , maka nilai positif B paling kecil adalah ....

Jika $tan (A - B) = 1$ dan $sec (A + B) = \frac{2}{3}$ , maka nilai positif $B$ paling kecil adalah ....

$\frac{25}{24} π$
$\frac{19}{24} π$
$\frac{13}{24} π$
$\frac{11}{24} π$
$\frac{7}{24} π$

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah E.

Pembahasan

Ingat bahwa untuk menyelesaikan persamaan trigonometri tan x = p , solusinya adalah besar sudut x yang nilai tangennya adalah . Nilai A − B yang memenuhi persamaan tan ( A − B ) = 1 , yaitu: A − B = 4 5 ∘ atau A − B = 22 5 ∘ untuk 0 ∘ ≤ A − B ≤ 36 0 ∘ . Karena nilai tangen untuk kedua sudut tersebut adalah 1 . Ingat bahwa terdapat identitas trigonometri: sec x = cos x 1 Maka persamaan sec ( A + B ) = 3 2 dapat diubah menjadi: sec ( A + B ) c o s ( A + B ) 1 cos ( A + B ) = = = 3 2 3 2 2 3 Ingat bahwa untuk menyelesaikan persamaan trigonometri cos x = p , solusinya adalah besar sudut x yang nilai cosinusnya adalah . Nilai A + B yang memenuhi persamaan cos ( A + B ) = 2 3 , yaitu: A + B = 3 0 ∘ atau A + B = 33 0 ∘ untuk 0 ∘ ≤ A + B ≤ 36 0 ∘ . Karena nilai cosinus untuk kedua sudut tersebut adalah 2 3 . Jikanilai B bernilai positif, maka pasti berlaku A + B > A − B . Sehingga nilai A + B yang memenuhihal tersebut adalah A + B = 33 0 ∘ . Karena 3 0 ∘ < 4 5 ∘ < 22 5 ∘ < 33 0 ∘ . Untuk memperoleh nilai B paling kecil, maka selisih antara nilai A + B dan nilai A − B harus minimum. Karena selisih antara 33 0 ∘ dan 22 5 ∘ lebih kecil dibandingkan dengan selisih antara 33 0 ∘ dan 4 5 ∘ ,maka nilai A − B yang memenuhi hal tersebut adalah A − B = 22 5 ∘ . Dengan menggunakan metode eliminasi dari SPLDV yang terbentuk, maka nilai B yaitu: A + B = 33 0 ∘ A − B = 22 5 ∘ 2 B = 10 5 ∘ B = 2 10 5 ∘ − Jika dikonversi ke dalam radian, maka: B = = = 2 10 5 ∘ × 18 0 ∘ π 2 7 × 1 5 ∘ × 12 × 1 5 ∘ π 24 7 π radian Dengan demikian,nilai positif B paling kecil adalah 24 7 π . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah E.

Ingat bahwa untuk menyelesaikan persamaan trigonometri $tan x = p$ , solusinya adalah besar sudut $x$ yang nilai tangennya adalah $p$ .

Nilai $A - B$ yang memenuhi persamaan $tan (A - B) = 1$ , yaitu:

$A - B = 4 5^{\circ} atau A - B = 22 5^{\circ}$

untuk $0^{\circ} \leq A - B \leq 36 0^{\circ}$ . Karena nilai tangen untuk kedua sudut tersebut adalah $1$ .

Ingat bahwa terdapat identitas trigonometri:

$sec x = \frac{1}{cos x}$

Maka persamaan $sec (A + B) = \frac{2}{3}$ dapat diubah menjadi:

$sec (A + B) \frac{1}{c o s ( A + B )} cos (A + B) = = = \frac{2}{3} \frac{2}{3} \frac{3}{2}$

Ingat bahwa untuk menyelesaikan persamaan trigonometri $cos x = p$ , solusinya adalah besar sudut $x$ yang nilai cosinusnya adalah $p$ .

Nilai $A + B$ yang memenuhi persamaan $cos (A + B) = \frac{3}{2}$ , yaitu:

$A + B = 3 0^{\circ} atau A + B = 33 0^{\circ}$

untuk $0^{\circ} \leq A + B \leq 36 0^{\circ}$ . Karena nilai cosinus untuk kedua sudut tersebut adalah $\frac{3}{2}$ .

Jika nilai $B$ bernilai positif, maka pasti berlaku $A + B > A - B$ . Sehingga nilai $A + B$ yang memenuhi hal tersebut adalah $A + B = 33 0^{\circ}$ . Karena $3 0^{\circ} < 4 5^{\circ} < 22 5^{\circ} < 33 0^{\circ}$ .

Untuk memperoleh nilai $B$ paling kecil, maka selisih antara nilai $A + B$ dan nilai $A - B$ harus minimum. Karena selisih antara $33 0^{\circ}$ dan $22 5^{\circ}$ lebih kecil dibandingkan dengan selisih antara $33 0^{\circ}$ dan $4 5^{\circ}$ , maka nilai $A - B$ yang memenuhi hal tersebut adalah $A - B = 22 5^{\circ}$ .

Dengan menggunakan metode eliminasi dari SPLDV yang terbentuk, maka nilai $B$ yaitu:

$A + B = 33 0^{\circ} A - B = 22 5^{\circ} 2 B = 10 5^{\circ} B = \frac{10 5 ^{\circ}}{2} -$

Jika dikonversi ke dalam radian, maka:

$B = = = \frac{10 5 ^{\circ}}{2} \times \frac{π}{18 0 ^{\circ}} \frac{7 \times 1 5 ^{\circ}}{2} \times \frac{π}{12 \times 1 5 ^{\circ}} \frac{7}{24} π radian$

Dengan demikian, nilai positif $B$ paling kecil adalah $\frac{7}{24} π$ .

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah E.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut untuk 0 ∘ ≤ x ≤ 36 0 ∘ . b. ( cot ( 2 x − 60 ) ∘ + 3 ) ( sec 3 x − 2 ) = 0

5.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut untuk 0 ∘ ≤ x ≤ 36 0 ∘ . b. ( cot ( 2 x − 60 ) ∘ + 3 ) ( sec 3 x − 2 ) = 0

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui sin ( A + B ) = 2 1 3 , tan ( A − B ) = 3 1 3 , 0 ∘ ≤ ( A + B ) ≤ 9 0 ∘ , dan A > B . Hitunglah sin A , cos A , tan A , sec A , cos ec A , dan cotan A .

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui sin ( A + B ) = 2 1 3 , tan ( A − B ) = 3 1 3 , 0 ∘ ≤ ( A + B ) ≤ 9 0 ∘ , dan A > B . Hitunglah sin A , cos A , tan A , sec A , cos ec A , dan cotan A .

5.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut. b. tan − 1 x = cos − 1 x

0.0

Jawaban terverifikasi