Pertanyaan

Jika α dan β adalah sudut-sudut lancip dengan tan α = 24 7 dan cotan α = 12 5 , hitunglah: f. tan ( 2 1 α + β ) .

Jika $α$ dan $β$ adalah sudut-sudut lancip dengan $tan α = \frac{7}{24}$ dan $cotan α = \frac{5}{12}$ , hitunglah:

f. $tan (\frac{1}{2} α + β)$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai dari tan ( 2 1 α + β ) adalah 23 89

nilai dari

tan (\frac{1}{2} α + β)

adalah

\frac{89}{23}

Pembahasan

Ingat kembali rumus: tan 2 A = sin A 1 − cos A sin A cos A tan A cotan A = = = = miring depan miring samping samping depan depan samping tan ( A + B ) = 1 − tan A tan B tan A + tan B Pada soal di atas, terdapat kekeliruan pada penulisan soal, yaitu co tan α = 12 5 , kita asumsikan, co tan β = 12 5 . Pertama untuk sudut α : tan α = 24 7 samping depan = 24 7 ⇒ depan = 7 ⇒ samping = 24 Sehingga dengan menggunakan teorema Pytahgoras: miring = = = = depan 2 + samping 2 7 2 + 2 4 2 625 25 Sehingga diperoleh: sin α cos α = = = = miring depan 25 7 miring samping 25 24 Untuk sudut β : cotan β depan samping = = 12 5 12 5 ⇒ samping = 5 ⇒ depan = 12 Sehingga dengan menggunakan teorema Pytahgoras: miring = = = = samping 2 + depan 2 5 2 + 1 2 2 169 13 Sehingga diperoleh: sin β cos β tan β = = = = = = miring depan 13 12 miring samping 13 5 samping depan 5 12 karena diketahui bahwa sudut α dan β adalah sudut-sudut lancip maka sudut 2 α juga sudut lancip dan berada pada kuadran I, sehingga: tan ( 2 1 α + β ) = = = = = = = = 1 − t a n 2 1 α t a n β t a n 2 1 α + t a n β 1 − sin α 1 − cos α ⋅ 5 12 sin α 1 − cos α + 5 12 1 − 25 7 1 − 25 24 ⋅ 5 12 25 7 1 − 25 24 + 5 12 1 − 25 7 25 25 − 24 ⋅ 5 12 25 7 25 25 − 24 + 5 12 1 − 25 7 25 1 ⋅ 5 12 25 7 25 1 + 5 12 1 − 7 1 5 12 7 1 + 5 12 35 35 − 12 35 5 + 84 23 89 Jadi, nilai dari tan ( 2 1 α + β ) adalah 23 89

Ingat kembali rumus:

$tan \frac{A}{2} = \frac{1 - cos A}{sin A}$

$sin A cos A tan A cotan A = = = = \frac{depan}{miring} \frac{samping}{miring} \frac{depan}{samping} \frac{samping}{depan}$

$tan (A + B) = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B}$

Pada soal di atas, terdapat kekeliruan pada penulisan soal, yaitu $co tan α = \frac{5}{12}$ , kita asumsikan, $co tan β = \frac{5}{12}$ .

Pertama untuk sudut $α$ :

$tan α = \frac{7}{24} \frac{depan}{samping} = \frac{7}{24} \Rightarrow depan = 7 \Rightarrow samping = 24$

Sehingga dengan menggunakan teorema Pytahgoras:

$miring = = = = depan^{2} + samping^{2} 7^{2} + 2 4^{2} 62525$

Sehingga diperoleh:

$sin α cos α = = = = \frac{depan}{miring} \frac{7}{25} \frac{samping}{miring} \frac{24}{25}$

Untuk sudut $β$ :

$cotan β \frac{samping}{depan} = = \frac{5}{12} \frac{5}{12} \Rightarrow samping = 5 \Rightarrow depan = 12$

Sehingga dengan menggunakan teorema Pytahgoras:

$miring = = = = samping^{2} + depan^{2} 5^{2} + 1 2^{2} 16913$

Sehingga diperoleh:

$sin β cos β tan β = = = = = = \frac{depan}{miring} \frac{12}{13} \frac{samping}{miring} \frac{5}{13} \frac{depan}{samping} \frac{12}{5}$

karena diketahui bahwa sudut $α$ dan $β$ adalah sudut-sudut lancip maka sudut $\frac{α}{2}$ juga sudut lancip dan berada pada kuadran I, sehingga:

$tan (\frac{1}{2} α + β) = = = = = = = = \frac{t a n \frac{1}{2} α + t a n β}{1 - t a n \frac{1}{2} α t a n β} \frac{\frac{1 - cos α}{sin α} + \frac{12}{5}}{1 - \frac{1 - cos α}{sin α} \cdot \frac{12}{5}} \frac{\frac{1 - \frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} + \frac{12}{5}}{1 - \frac{1 - \frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} \cdot \frac{12}{5}} \frac{\frac{\frac{25 - 24}{25}}{\frac{7}{25}} + \frac{12}{5}}{1 - \frac{\frac{25 - 24}{25}}{\frac{7}{25}} \cdot \frac{12}{5}} \frac{\frac{\frac{1}{25}}{\frac{7}{25}} + \frac{12}{5}}{1 - \frac{\frac{1}{25}}{\frac{7}{25}} \cdot \frac{12}{5}} \frac{\frac{1}{7} + \frac{12}{5}}{1 - \frac{1}{7} \frac{12}{5}} \frac{\frac{5 + 84}{35}}{\frac{35 - 12}{35}} \frac{89}{23}$