Jika x dan y adalah bilangan real sehingga xy=13 dan x+y=10, maka x2+y2=...

Diketahui: $${\left(x-y\right)}^2={\left(y-x\right)}^2$$ dengan $$y$$ merupakan bilangan bulat negatif.

• Ketika $$x=0$$, maka:

$$\begin{array}{rcl}{(0-y)}^2& =& {\left(y-0\right)}^2\\ {\left(-y\right)}^2& =& {\left(y\right)}^2\\ y^2& =& y^2\to \mathrm{benar}\end{array}$$

• Ketika $$x$$ bilangan bulat positif.

           Misal, $$y=-a\mathrm{dan}x=b$$, maka:

$$\begin{array}{rcl}{\left(x-y\right)}^2& =& {\left(y-x\right)}^2\\ {\left(\mathrm{b}-(-\mathrm{a})\right)}^2& =& {\left(-\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)}^2\\ {\left(\mathrm{b}+\mathrm{a}\right)}^2& =& {\left(-\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)}^2\\ {\mathrm{b}}^2+2\mathrm{ab}+{\mathrm{a}}^2& =& {\mathrm{a}}^2+2\mathrm{ab}+{\mathrm{b}}^2\to \mathrm{benar}\end{array}$$

        

• Ketika $$x$$ bilangan bulat negatif .

$$\begin{array}{rcl}{\left(x-y\right)}^2& =& {\left(y-x\right)}^2\\ {\left(-\mathrm{b}-(-\mathrm{a})\right)}^2& =& {\left(-\mathrm{a}-(-\mathrm{b})\right)}^2\\ {\left(-\mathrm{b}+\mathrm{a}\right)}^2& =& {\left(-\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)}^2\\ {\mathrm{b}}^2-2\mathrm{ab}+{\mathrm{a}}^2& =& {\mathrm{a}}^2-2\mathrm{ab}+{\mathrm{b}}^2\to \mathrm{benar}\end{array}$$

Jadi, nilai $$x$$ berlaku untuk semua bilangan bulat. 

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.

Ingat!
Rumus kuadrat dari penjumlahan dua suku bentuk aljabar:

$${\left(x+y\right)}^2=x^2+y^2+2xy$$

Berdasarkan rumus di atas dan karena diketahui $$xy=5$$ dan $$x^2+y^2=7$$, maka diperoleh

$$\begin{array}{rcl}{\left(x+y\right)}^2& =& \left(x^2+y^2\right)+2\left(xy\right)\\ & =& 7+2\left(5\right)\\ & =& 7+10\\ & =& 17\end{array}$$

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C. 

Ingat

$$\begin{gathered} {\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2 \\ {\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2 \end{gathered}$$

Sehingga diperoleh

$$\begin{array}{rcl}\frac{{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2+{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2}{a+b}& =& \frac{a+2\sqrt{ab}+b+a-2\sqrt{ab}+b}{a+b}\\ & =& \frac{a+a+b+b}{a+b}\\ & =& \frac{2a+2b}{a+b}\\ & =& \frac{2\left(a+b\right)}{a+b}\\ & =& 2\end{array}$$

Oleh karena itu,jawaban yang benar adalah D.

Ingat konsep :

$$\begin{array}{rcl}{\left(x+y\right)}^2& =& x^2+y^2+2xy\\ x^3-y^3& =& \left(x-y\right)\left(x^2+y^2+xy\right)\\ x^3+y^3& =& \left(x+y\right)\left(x^2-y^2-xy\right)\\ & & \end{array}$$ 

Berdasarkan konsep identitas aljabar di atas diperoleh penyelesaiaan sebagai berikut :

$$\begin{array}{rcl}\frac{2021^3-1}{2022^3+1}& =& \frac{\left(2021-1\right)\left(2021^2+2021+1^2\right)}{\left(2022+1\right)\left(2022^2-2022+1^2\right)}\\ & =& \frac{2020}{2023}\times \frac{\left(2021^2+2022\right)}{\left({\left(2021+1\right)}^2-2022+1\right)}\\ & =& \frac{2020}{2023}\times \frac{2021^2+2021+1}{2021^2+2\cdot 2021+1-2021-1+1}\\ & =& \frac{2020}{2023}\times \frac{2021^2+2021+1}{2021^2+2021+1}\\ & =& \frac{2020}{2023}\end{array}$$

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.

Ingat rumus :

• $${\mathrm{a}}^2=\mathrm{a}\times \mathrm{a}$$ 
• $${\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+2\mathrm{ab}$$

Berdasarkan rumus di atas maka diperoleh :

$$\begin{array}{rcl}{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)}^2& =& {\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+2\mathrm{ab}\\ {\left(0,5+0,6\right)}^2& =& 0,5^2+0,6^2+\left(2\times 0,5\times 0,6\right)\\ & =& 0,25+0,36+0,6\\ & =& 1,21\end{array}$$

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.