Pertanyaan

Jika m dan n adalah bilangan asli yang memuat ekspresi n m = 1 − 2 1 + 3 1 − 4 1 + ... − 1318 1 + 1319 1 benar. Buktikan bahwa m habis dibagi oleh 1979.

Jika $m$ dan $n$ adalah bilangan asli yang memuat ekspresi $\frac{m}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... - \frac{1}{1318} + \frac{1}{1319}$ benar. Buktikan bahwa $m$ habis dibagi oleh 1979.

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

O. Rahmawati

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni UIN Sunan Gunung Djati Bandung

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Menyederhanakan ekpresi yang diketahui: n m = = = = 1 − 2 1 + 3 1 − 4 1 + ... − 1318 1 + 1319 1 1 + 2 1 + ... + 1319 1 − 2 ( 2 1 + 4 1 + ... + 1318 1 ) 1 + 2 1 + ... + 1319 1 − ( 1 + 2 1 + ... 659 1 ) 660 1 + 661 1 + ... + 1319 1 Sehingga: 660 1 + 1319 1 = 660 ⋅ 1319 660 + 1319 = 660 ⋅ 1319 1979 661 1 + 1318 1 = 661 ⋅ 1318 661 + 1318 = 661 ⋅ 1318 1979 dan seterusnya. Kita lihat bahwa persamaan awal menjadi: n m = = 660 ⋅ 1319 1979 + 661 ⋅ 1318 1979 + ... + 989 ⋅ 990 1979 1979 ⋅ s r dimana s = 660 ⋅ 661 ⋅ ⋅ ⋅ 1319 dan r = 660 ⋅ 1319 s + 661 ⋅ 1318 s + ... + 989 ⋅ 990 s adalah dua bilangan bulat. Diperoleh m = 1979 ⋅ s n r , lihatlah bahwa s ∣ 1979 , karena 1979 adalah bilangan prima, maka s n r ∈ Z . Jadi, dapat disimpulkan bahwa m habis dibagi 1979.

Menyederhanakan ekpresi yang diketahui:

$\frac{m}{n} = = = = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... - \frac{1}{1318} + \frac{1}{1319} 1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{1319} - 2 (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{1318}) 1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{1319} - (1 + \frac{1}{2} + ... \frac{1}{659}) \frac{1}{660} + \frac{1}{661} + ... + \frac{1}{1319}$

Sehingga:

$\frac{1}{660} + \frac{1}{1319} = \frac{660 + 1319}{660 \cdot 1319} = \frac{1979}{660 \cdot 1319}$

$\frac{1}{661} + \frac{1}{1318} = \frac{661 + 1318}{661 \cdot 1318} = \frac{1979}{661 \cdot 1318}$

dan seterusnya.

Kita lihat bahwa persamaan awal menjadi:

$\frac{m}{n} = = \frac{1979}{660 \cdot 1319} + \frac{1979}{661 \cdot 1318} + ... + \frac{1979}{989 \cdot 990} 1979 \cdot \frac{r}{s}$

dimana $s = 660 \cdot 661 \cdot \cdot \cdot 1319$ dan $r = \frac{s}{660 \cdot 1319} + \frac{s}{661 \cdot 1318} + ... + \frac{s}{989 \cdot 990}$ adalah dua bilangan bulat.