Diketahui matriks A=(−2x−25y), B=(y−223), dan C=(54−112). Jika 3Bt=C−A dan adalah transpos dari matriks B, hitunglah nilai x2−y2.

Pertanyaan

Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}-2x&5\\-2&y\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}y&2\\-2&3\end{pmatrix}$ , dan $C=\begin{pmatrix}5&-1\\4&12\end{pmatrix}$ . Jika $3B^t=C-A$ dan $\style{font-size:14px}B^\style{font-size:14px}t$ adalah transpos dari matriks B, hitunglah nilai $x^2-y^2$ . $\;$

Pembahasan:

Ingat kembali:

Jika matriks $A equals open parentheses table row a b row c d end table close parentheses$ , $B equals open parentheses table row m n row o p end table close parentheses$ , dan $k$ bilangan real, maka

matriks transpose dari $A$ adalah $A to the power of t equals open parentheses table row a c row b d end table close parentheses$
$k open parentheses table row a b row c d end table close parentheses equals open parentheses table row cell k a end cell cell k b end cell row cell k c end cell cell k d end cell end table close parentheses$
$A minus B equals open parentheses table row a b row c d end table close parentheses minus open parentheses table row m n row o p end table close parentheses equals open parentheses table row cell a minus m end cell cell b minus n end cell row cell c minus o end cell cell d minus p end cell end table close parentheses$
jika $A equals B$ , maka $a equals m$ , $b equals n$ , $c equals o$ , dan $d equals p$

Dengan demikian,

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 B to the power of t end cell equals cell C minus A end cell row cell 3 open parentheses table row y cell negative 2 end cell row 2 3 end table close parentheses end cell equals cell open parentheses table row 5 cell negative 1 end cell row 4 12 end table close parentheses minus open parentheses table row cell negative 2 x end cell 5 row cell negative 2 end cell y end table close parentheses end cell row cell open parentheses table row cell 3 open parentheses y close parentheses end cell cell 3 open parentheses negative 2 close parentheses end cell row cell 3 open parentheses 2 close parentheses end cell cell 3 open parentheses 3 close parentheses end cell end table close parentheses end cell equals cell open parentheses table row cell 5 minus open parentheses negative 2 x close parentheses end cell cell negative 1 minus open parentheses 5 close parentheses end cell row cell 4 minus open parentheses negative 2 close parentheses end cell cell 12 minus open parentheses y close parentheses end cell end table close parentheses end cell row cell open parentheses table row cell 3 y end cell cell negative 6 end cell row 6 9 end table close parentheses end cell equals cell open parentheses table row cell 5 plus 2 x end cell cell negative 6 end cell row 6 cell 12 minus y end cell end table close parentheses end cell end table$

sehingga diperoleh

$table row cell 3 y equals 5 plus 2 x end cell blank cell midline horizontal ellipsis open parentheses 1 close parentheses end cell row cell 9 equals 12 minus y end cell blank cell midline horizontal ellipsis open parentheses 2 close parentheses end cell end table$

Dari $open parentheses 2 close parentheses$ , diperoleh

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row 9 equals cell 12 minus y end cell row cell 9 plus y end cell equals 12 row y equals cell 12 minus 9 end cell row y equals 3 end table$

Dengan menyubtitusi $y equals 3$ ke $open parentheses 1 close parentheses$ , diperoleh

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 open parentheses 3 close parentheses end cell equals cell 5 plus 2 x end cell row 9 equals cell 5 plus 2 x end cell row cell 9 minus 2 x end cell equals 5 row cell negative 2 x end cell equals cell 5 minus 9 end cell row cell negative 2 x end cell equals cell negative 4 end cell row x equals cell fraction numerator negative 4 over denominator negative 2 end fraction end cell row x equals 2 end table$

Oleh karena diperoleh $x equals 2$ dan $y equals 3$ , maka

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x squared minus y squared end cell equals cell 2 squared minus 3 squared end cell row blank equals cell 4 minus 9 end cell row blank equals cell negative 5 end cell end table$

Jadi, nilai $x squared minus y squared$ adalah $negative 5$ . $space$

Jawaban terverifikasi

Dijawab oleh:

I. Ridha

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Surabaya

Terakhir diupdate 06 Oktober 2021