Pertanyaan

Berapakah nilai x → 0 lim sin 2 2 x tan x x ( 1 − cos 2 x ) ?

Berapakah nilai $x \to 0 lim \frac{x ( 1 - cos 2 x )}{sin ^{2} 2 x tan x}$ ?

D. Nuryani

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Padjadjaran

Jawaban terverifikasi

Jawaban

hasil dari adalah .

hasil dari $limit as x rightwards arrow 0 of fraction numerator x open parentheses 1 minus cos space 2 x close parentheses over denominator sin squared space 2 x space tan space x end fraction$ adalah 1 half

Pembahasan

Rumus limit trigonometri untuk yang didapat dari penurunan dengan kaidah L'Hopital sebagai berikut. Selain itu, ingatlah identitas trigonometri berikut. Pertama, lakukan metode substitusi untuk menjawab soal limit di atas. Karena menghasilkan bentuk tak tentu, penyelesaian limit di atas adalah sebagai berikut. Dengan demikian, hasil dari adalah .

Rumus limit trigonometri untuk x rightwards arrow 0 yang didapat dari penurunan dengan kaidah L'Hopital sebagai berikut.

$left parenthesis straight i right parenthesis space limit as x rightwards arrow 0 of fraction numerator x over denominator tan space x end fraction equals 1 left parenthesis ii right parenthesis space limit as x rightwards arrow 0 of fraction numerator sin space a x over denominator sin space b x end fraction equals a over b$

Selain itu, ingatlah identitas trigonometri berikut.

left parenthesis straight i right parenthesis space cos space 2 x equals cos squared space x minus sin squared space x left parenthesis ii right parenthesis space sin squared space x plus cos squared space x equals 1

Pertama, lakukan metode substitusi untuk menjawab soal limit di atas.

Karena menghasilkan bentuk tak tentu, penyelesaian limit di atas adalah sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow 0 of fraction numerator x open parentheses 1 minus cos space 2 x close parentheses over denominator sin squared space 2 x space tan space x end fraction end cell equals cell limit as x rightwards arrow 0 of fraction numerator x over denominator tan space x end fraction times limit as x rightwards arrow 0 of fraction numerator 1 minus cos space 2 x over denominator sin squared space 2 x end fraction end cell row blank equals cell 1 times limit as x rightwards arrow 0 of fraction numerator 1 minus open parentheses cos squared space x minus sin squared space x close parentheses over denominator sin squared space 2 x end fraction end cell row blank equals cell 1 times limit as x rightwards arrow 0 of fraction numerator 1 minus cos squared space x plus sin squared space x over denominator sin squared space 2 x end fraction end cell row blank equals cell 1 times limit as x rightwards arrow 0 of fraction numerator sin squared space x plus sin squared space x over denominator sin squared space 2 x end fraction end cell row blank equals cell 1 times limit as x rightwards arrow 0 of fraction numerator 2 space sin squared space x over denominator sin squared space 2 x end fraction end cell row blank equals cell 1 times limit as x rightwards arrow 0 of space 2 times limit as x rightwards arrow 0 of open parentheses fraction numerator sin space x over denominator sin space 2 x end fraction close parentheses squared end cell row blank equals cell 1 times 2 times open parentheses limit as x rightwards arrow 0 of fraction numerator sin space x over denominator sin space 2 x end fraction close parentheses squared end cell row blank equals cell 2 times open parentheses 1 half close parentheses squared end cell row blank equals cell 2 times 1 fourth end cell row blank equals cell 1 half end cell end table$

Dengan demikian, hasil dari $limit as x rightwards arrow 0 of fraction numerator x open parentheses 1 minus cos space 2 x close parentheses over denominator sin squared space 2 x space tan space x end fraction$ adalah 1 half .