Pertanyaan

x → ∞ lim x ( sec x 1 − 1 ) = .... (SBMPTN 207)

$x \to \infty lim x (sec \frac{1}{x} - 1) = ....$

(SBMPTN 207)

$1$
$\frac{1}{2}$
$0$
$- \frac{1}{2}$
$- 1$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

S. Dwi

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah B.

Pembahasan

Sifat limit trigonometri: y → 0 lim sin b y sin a y = b a Rumus yang digunakan: cos A = 1 − 2 sin 2 2 1 A dan sec A = c os A 1 1 − cos A = 2 sin 2 1 A sin 2 1 A 1 − cos y = 2 sin 2 1 y sin 2 1 y Dari konsep di atas diperoleh: misal: x 1 = y , untuk x → ∞ maka y → 0 lim x → ∞ x ( sec x 1 − 1 ) = = = = = = = = = = lim x → ∞ x 1 ( sec x 1 − 1 ) lim x → ∞ x 1 ⋅ x 1 ( sec x 1 − 1 ) lim y → 0 y ⋅ y ( sec y − 1 ) lim y → 0 y ⋅ y ( cos y 1 − 1 ) lim y → 0 y ⋅ y ( cos y 1 − cos y ) lim y → 0 y ⋅ y ( 1 − cos y ) × c o s y 1 lim y → 0 y ⋅ y 2 s i n 2 1 y s i n 2 1 y × c o s y 1 y → 0 lim 2 y s i n 2 1 y ⋅ y s i n 2 1 y × c o s y 1 2 ⋅ 2 1 ⋅ 2 1 ⋅ 1 1 2 1 Jadi, x → ∞ lim x ( sec x 1 − 1 ) = 2 1 Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah B.

Sifat limit trigonometri:

$y \to 0 lim \frac{sin a y}{sin b y} = \frac{a}{b}$

Rumus yang digunakan:

$cos A = 1 - 2 sin^{2} \frac{1}{2} A dan sec A = \frac{1}{c os A} 1 - cos A = 2 sin \frac{1}{2} A sin \frac{1}{2} A 1 - cos y = 2 sin \frac{1}{2} y sin \frac{1}{2} y$

Dari konsep di atas diperoleh:

misal:

$\frac{1}{x} = y$ , untuk $x \to \infty$ maka $y \to 0$

$lim_{x \to \infty} x (sec \frac{1}{x} - 1) = = = = = = = = = = lim_{x \to \infty} \frac{( sec \frac{1}{x} - 1 )}{\frac{1}{x}} lim_{x \to \infty} \frac{( sec \frac{1}{x} - 1 )}{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}} lim_{y \to 0} \frac{( sec y - 1 )}{y \cdot y} lim_{y \to 0} \frac{( \frac{1}{cos y} - 1 )}{y \cdot y} lim_{y \to 0} \frac{( \frac{1 - cos y}{cos y} )}{y \cdot y} lim_{y \to 0} \frac{( 1 - cos y )}{y \cdot y} \times \frac{1}{c o s y} lim_{y \to 0} \frac{2 s i n \frac{1}{2} y s i n \frac{1}{2} y}{y \cdot y} \times \frac{1}{c o s y} y \to 0 lim 2 \frac{s i n \frac{1}{2} y}{y} \cdot \frac{s i n \frac{1}{2} y}{y} \times \frac{1}{c o s y} 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} \frac{1}{2}$