Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 4 sin x + cos 4x pada interval 0 ≤ x ≤ 180⁰!

Halo Maylatunisa, kakak bantu jawab ya jawaban soal ini adalah 1. Ingat konsep: 1. Titik (a, f(a)) merupakan titik stasioner f jika f'(a) = 0 2. Jika (a, f(a)) titik stasioner f dan f"(a) > 0 maka f(a) adalah nilai minimum relatif f 3. Jika f(x) = ax^n , maka turunan pertamanya adalah f’(x) = anx^(n-1) 4. Jika f(x) = sin x, maka turunan pertamanya adalah f’(x) = cosx 5. Jika f(x) = cos x, maka turunan pertamanya adalah f’(x) = -sin x 6. Jika f(x) = u(x) + v(x), maka turunan pertamanya adalah f’(x) = u’(x) + v’(x) 7. Jika f(x) = u(x). v(x) maka f'(x) = u'(x). v(x) + u(x). v'(x) 8. Jika f(x) = c konstan, maka turunan pertamanya adalah f’(x) = 0 9. (Aturan rantai) jika f(x) = u(v(x)) maka turunan pertamanya adalah f’(x) = u’(v(x)).v’(x) 10. sin 0⁰ = 0 11. sin 90⁰ = 1 12. cos 0⁰ = 1 13. cos (360⁰ - x) = cos x 14. sin (180⁰ - x) = sin x 15. cos x = sin (90⁰ - x) Dari soal akan dicari nilai minimum fungsi f(x) = 4 sin x + cos 4x pada interval 0 ≤ x ≤ 180⁰. Misal g(x) = cos 4x, u(x) = cos x dan v(x) = 4x maka g(x) = u(v(x)). Berdasarkan konsep diaitas didapat: u'(x) = -sin x v'(x) = 4. x^(1-1) = 4 u'(v(x)) = -sin 4x Berdasarkan aturan rantai didapat: g’(x) = u’(v(x)).v’(x) g’(x) = - sin 4x. 4 g’(x) = -4 sin 4x Karena turunan 4 sin x adalah 4 cos x. Berdasarkan konsep diatas didapat: f'(x) = 4 cos x + g'(x) f'(x) = 4 cos x - 4 sin 4x Sekarang akan dicari absis titik stasioner : f'(x) = 0 4 cos x - 4 sin 4x = 0 4 cos x = 4 sin 4x (masing-masing ruas bagi 4) cos x = sin 4x sin (90⁰ - x) = sin 4x sin (90⁰ - x + k. 360⁰) = sin (4x + j. 360⁰) 90⁰ - x + k. 360⁰ = 4x + j. 360⁰ 4x + x = 90⁰ + k. 360⁰ - j. 360⁰ 5x = 90⁰ + (k-j). 360⁰ 5x = 90⁰ + i. 360⁰ dimana i adalah bilangan bulat (masing-masing ruas bagi 5) x = 18⁰ + i.72⁰ Jika i = 0, maka x = 18⁰ + 0.72⁰ = 18⁰ (memenuhi 0 ≤ x ≤ 180⁰) Jika i = 1, maka x = 18⁰ + 1.72⁰ = 90⁰ (memenuhi 0 ≤ x ≤ 180⁰) Jika i = 2, maka x = 18⁰ + 2.72⁰ = 162⁰ (memenuhi 0 ≤ x ≤ 180⁰) Sedangkan untuk i lainnya menghasilkan x yang tidak memenuhi 0 ≤ x ≤ 180⁰. Jadi, absis - absis titik stasionernya adalah 18⁰, 90⁰, 162⁰. Sekarang akan ditentukan jenis titik stasionernya. Sudah diperoleh f'(x) = 4 cos x - 4 sin 4x. Akan dicari turunan kedua dari f. Misalkan h(x) = -4sin 4x, a(x) = -4 sin x, b(x) = 4x. Maka h(x) = a(b(x)). Berdasarkan konsep diatas didapat: a'(x) = -4 cos x b'(x) = 4. x^(1-1) = 4 a'(b(x)) = -4 cos 4x Berdasarkan aturan rantai didapat: h’(x) = a’(b(x)).b’(x) h’(x) = -4 cos 4x. 4 = -16 cos 4x Karena turunan 4 cos x adalah -4 sin x maka : f"(x) = -4 sin x + h'(x) f"(x) = -4 sin x -16 cos 4x f"(18⁰) = -4 sin 18⁰ - 16 cos 72⁰ < 0 f"(90⁰) = -4 sin 90⁰ - 16 cos 360⁰ =-4. 1 - 16. cos (360⁰ - 0⁰) = -4 - 16 cos 0⁰ = -4 - 16 = -20 < 0 f"(162⁰) = -4 sin 162⁰ - 16 cos 648⁰ =-4 sin (180⁰ - 18⁰ ) - 16 cos (360⁰ + 288⁰ ) = -4 sin 18⁰ - 16 cos 288⁰ = -4 sin 18⁰ - 16 cos (360⁰ - 72⁰ ) = -4 sin 18⁰ - 16 cos 72⁰ < 0 Jadi, tak ada titik-titik stasioner di interval [0⁰, 180⁰] yang menyebabkan f minimum relatif. Oleh karena itu, kita akan cari nilai f di batas-batas interval: f(x) = 4 sin x + cos 4x f(0⁰) = 4 sin 0⁰ + cos (4. 0⁰) f(0⁰) =4.0 + cos 0⁰ f(0⁰) = 0 + 1 = 1 f(180⁰) = 4 sin 180⁰ + cos (4. 180⁰) f(180⁰) = 4 sin (180⁰ - 0⁰) + cos (2. 360⁰ + 0) f(180⁰) = 4 sin 0⁰ + cos 0⁰ f(180⁰) = 0 + 1 = 1 Jadi, nilai minimum f(x) = 4 sin x + cos 4x pada interval 0 ≤ x ≤ 180⁰ adalah 1. Semoga membantu ya :)