Kerja kan

Jawaban: - 3 membagi n^3 − n untuk setiap n ∈ Z - 6 membagi a^3 − a untuk setiap a ∈ Z Penjelasan: Kedua pernyataan benar karena n^3 − n dan a^3 − a dapat difaktorkan menjadi hasil kali tiga bilangan bulat berurutan, yaitu x(x − 1)(x + 1). Di antara tiga bilangan berurutan selalu ada satu kelipatan 3, sehingga hasil kalinya kelipatan 3. Selain itu, selalu ada minimal satu bilangan genap, sehingga hasil kalinya juga kelipatan 2. Untuk pernyataan pertama cukup fakta “ada satu kelipatan 3” sehingga 3 | n^3 − n. Untuk pernyataan kedua, karena sekaligus kelipatan 2 dan kelipatan 3, dan 2 serta 3 saling prima, maka hasil kali tersebut pasti kelipatan 6; jadi 6 | a^3 − a. Rincian ekspresi matematis: - n^3 − n = n(n^2 − 1) = n(n − 1)(n + 1) • Modulo 3: n ≡ 0,1,2 ⇒ n^3 − n ≡ 0^3−0=0, 1^3−1=0, 2^3−2=8−2=6≡0 (mod 3) ⇒ 3 | n^3 − n - a^3 − a = a(a − 1)(a + 1) • Modulo 2: a ≡ 0 atau 1 ⇒ a^3 − a ≡ 0−0=0 atau 1−1=0 (mod 2) ⇒ 2 | a^3 − a • Modulo 3: a ≡ 0,1,2 ⇒ a^3 − a ≡ 0, 1−1=0, 8−2=6≡0 (mod 3) ⇒ 3 | a^3 − a • Karena 2 | (a^3 − a) dan 3 | (a^3 − a) serta gcd(2,3)=1, maka 6 | (a^3 − a)