Himpunan penyelesaian pertidak samaan (X²+3x-10) (x²+x+2) (x+1) 4 <0

<p>Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (X²+3x−10)⋅(X²+x+2)⋅(x+1)⁴&lt;0, Lakukan beberapa langkah sebagai berikut:</p><ol><li>Faktorisasi pertidaksamaan jika mungkin.</li><li>Menentukan akar-akar persamaan yang terkait dengan setiap faktor.</li><li>Membuat diagram tanda untuk setiap faktor dan menentukan interval-interval di mana setiap faktor bernilai positif dan negatif.</li><li>Menentukan hasil akhir dengan menggabungkan interval-interval di mana pertidaksamaan positif atau negatif.</li></ol><p>Mari kita selesaikan langkah-langkah ini:</p><p><strong>Langkah 1:</strong> Faktorisasi pertidaksamaan (x²+3x−10) dapat difaktorkan menjadi&nbsp;</p><p>(x+5)(x−2).(<i>x</i>²+<i>x</i>+2) tidak dapat difaktorkan lebih lanjut.</p><p>Jadi pertidaksamaan menjadi: (<i>x</i>+5)(<i>x</i>−2)⋅(<i>x</i>2+<i>x</i>+2)⋅(<i>x</i>+1)⁴&lt;0</p><p><strong>Langkah 2:</strong> Temukan akar-akar persamaan Akar dari faktor-faktor ini adalah:</p><ul><li><i>x</i>+5=0 menghasilkan <i>x</i>=−5.</li><li><i>x</i>−2=0 menghasilkan <i>x</i>=2.</li><li>Akar-akar dari <i>x</i>²+<i>x</i>+2 adalah akar-akar kompleks dan tidak berpengaruh pada pertidaksamaan ini.</li><li><i>x</i>+1=0 menghasilkan <i>x</i>=−1.</li></ul><p><strong>Langkah 3:</strong> Membuat diagram tanda untuk setiap faktor</p><ul><li><i>x</i>+5)(<i>x</i>−2) bernilai positif saat <i>x</i>&lt;−5 atau <i>x</i>&gt;2, dan negatif saat −5&lt;<i>x</i>&lt;2.</li><li>(<i>x</i>²+<i>x</i>+2) bernilai positif untuk semua nilai <i>x</i> karena merupakan kuadrat yang tidak memiliki akar nyata.</li><li>(<i>x</i>+1)⁴ bernilai positif untuk semua nilai <i>x</i> kecuali <i>x</i>=−1, dan negatif saat <i>x</i>=−1.</li></ul><p><strong>Langkah 4:</strong> Menentukan hasil akhir Untuk menentukan hasil akhir, kita perlu memeriksa tanda setiap faktor pada interval-interval tertentu:</p><ul><li>Interval (−∞,−5): Semua faktor negatif.</li><li>Interval (−5,−1)(−5,−1): (<i>x</i>+5)(<i>x</i>−2) positif, (<i>x</i>²+<i>x</i>+2) positif, (<i>x</i>+1)⁴ positif.</li><li>Interval (−1,2)(−1,2): (<i>x</i>+5)(<i>x</i>−2) positif, (<i>x</i>²+<i>x</i>+2) positif, (<i>x</i>+1)⁴ negatif.</li><li>Interval (2,∞): (<i>x</i>+5)(<i>x</i>−2) positif, (<i>x</i>²+<i>x</i>+2) positif, (<i>x</i>+1)⁴positif.</li></ul><p>Sekarang kita dapat menggabungkan interval-interval di mana pertidaksamaan &lt;0, yang hanya terjadi pada interval (−1,2).</p><p>Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (<i>x</i>2+3<i>x</i>−10)⋅(<i>x</i>2+<i>x</i>+2)⋅(<i>x</i>+1)⁴&lt;0 adalah <i>x</i>∈(−1,2).</p>