Getaran dari sebuah pegas yang panjangnya 200 cm d...

Question

Getaran dari sebuah pegas yang panjangnya 200 cm ditampilkan oleh persamaan y = (2cm) cos(phi.x/60) sin(2phi.t)

a. Tentukan simpangan maksimum suatu partikel pada jarak x = 20 cm.

b. Tentukan letak simpul ke-2 dan perut ke-3 dari titik asal getaran.

c. Berapakah kelajuan partikel pada x = 10 cm dan t = s?

P. Anindya · Accepted Answer

[]

a 1 cm  
b Simpul ke-2: x = 90 cm ; Perut ke-3: x = 120 cm  
c 2π√3 cm/s

[]

Persamaan yang diberikan menunjukkan gelombang berdiri pada pegas: y = 2 cos(pi x / 60) sin(2 pi t) (dalam cm). Amplitudo simpangan di suatu titik x ditentukan oleh faktor ruangnya saja, yaitu A(x) = 2 |cos(pi x / 60)|; karena fungsi waktu sin(2 pi t) hanya mengubah nilai dari -1 sampai 1. Untuk x = 20 cm, sudutnya menjadi pi/3 sehingga cos(pi/3) = 1/2 dan amplitudonya 2 × 1/2 = 1 cm. Letak simpul (node) terjadi ketika cos(pi x / 60) = 0, yaitu saat sudutnya sama dengan (2n - 1) pi / 2 sehingga x = 30 (2n - 1) cm; urutannya adalah 30 cm, 90 cm, 150 cm, … sehingga simpul ke-2 berada pada x = 90 cm. Perut (antinoda) terjadi saat |cos(pi x / 60)| = 1, yaitu saat sudutnya n pi sehingga x = 60 n cm; mulai dari x = 0 cm (perut pertama di titik asal), kemudian 60 cm, 120 cm, 180 cm, sehingga perut ke-3 dari titik asal berada pada x = 120 cm. Kelajuan partikel adalah turunan y terhadap waktu: v = dy/dt, sehingga v tergantung pada cos(pi x / 60) dan cos(2 pi t). Ketika x = 10 cm, nilainya cos(pi/6) = √3 / 2, dan ketika t = 1 s, cos(2 pi t) = cos(2 pi) = 1; sehingga kelajuan di titik dan waktu tersebut menjadi 2 pi √3 cm/s.

Penjelasan matematis terperinci:  
Diberikan y(x,t) = 2 cos(pi x / 60) sin(2 pi t), satuan cm. Amplitudo di posisi x: A(x) = 2 |cos(pi x / 60)|. Untuk x = 20 cm: sudut = pi × 20 / 60 = pi / 3, maka cos(pi / 3) = 1/2 sehingga A(20) = 2 × 1/2 = 1 cm. Simpul: cos(pi x / 60) = 0 ⇒ pi x / 60 = (2n - 1) pi / 2 ⇒ x = 60 × (2n - 1) / 2 = 30 (2n - 1). Untuk n = 1: x = 30 cm (simpul ke-1), n = 2: x = 90 cm (simpul ke-2). Perut: |cos(pi x / 60)| = 1 ⇒ pi x / 60 = n pi ⇒ x = 60 n. Untuk n = 0: x = 0 cm (perut ke-1), n = 1: x = 60 cm (perut ke-2), n = 2: x = 120 cm (perut ke-3). Kelajuan v(x,t) = dy/dt: turunan sin(2 pi t) terhadap t adalah 2 pi cos(2 pi t), sehingga v(x,t) = 2 cos(pi x / 60) × 2 pi cos(2 pi t) = 4 pi cos(pi x / 60) cos(2 pi t). Untuk x = 10 cm: pi x / 60 = pi × 10 / 60 = pi / 6, cos(pi / 6) = √3 / 2. Untuk t = 1 s: cos(2 pi t) = cos(2 pi) = 1. Maka v(10,1) = 4 pi × (√3 / 2) × 1 = 2 pi √3 cm/s.

Mau pemahaman lebih dalam untuk soal ini?

Pertanyaan serupa