Diketahui vektor p= 2i +j dan vektor q= i +mj. Jika vektor p dan q saling mengapit sudut 120 derajat, tentukan nilai m yang mungkin

Hai Calistha, terima kasih sudah bertanya di Roboguru. Kakak bantu jawab ya :) Jawaban : (8 + 5√3) atau (8 - 5√3) Misalkan terdapat vektor P = ai + bj = (a, b) dan vektor Q = ci + dj = (c, d) Perkalian dua buah vektor menghasilkan skalar : P . Q = (a, b) . (c, d) = (a)(c) + (b)(d) Panjang vektor P adalah : |P| = √(a² + b²) Sudut antara vektor P dan vektor Q adalah cos(θ) = (P . Q) / (|P| . |Q|) Bentuk persamaan kuadrat adalah ax² + bx + c = 0. Nilai akar-akar persamaan tersebut dapat dihitung dengan rumus : x₁₂ = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a) Pada soal diketahui vektor p = 2i + j = (2, 1) dan vektor q = i + mj = (1, m). Hasil kali dua buah vektor tersebut adalah : p . q = (2, 1) . (1, m) = (2)(1) + (1)(m) = 2 + m Panjang vektor p adalah |p| = √(2² + 1²) |p| = √(4 + 1) |p| = √5 Panjang vektor q adalah |q| = √(1² + m²) |q| = √(1 + m²) Sudut antara vektor p dan q adalah θ = 120°, sehingga dapat kita hitung : cos(θ) = (p . q) / (|p| . |q|) cos(120°) = (2 + m) / ((√5) . (√(1 + m²)) (-1/2) = (2 + m) / √(5(1 + m²)) .... (Persamaan I) √(5(1 + m²)) = (-2)(2 + m) √(5 + 5m²) = - 4 - 2m (√(5 + 5m²))² = (- 4 - 2m)² 5 + 5m² = 16 +16m + 4m² 5m² - 4m² - 16m - 16 + 5 = 0 m² - 16m - 11 = 0 Perhatikan bahwa m² - 16m - 11 = 0 adalah persamaan kuadrat dengan a = 1, b = -16, dan c = -11. Nilai dari m dapat kita hitung dengan rumus berikut : m₁₂ = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a) = (-(-16) ± √((-16)² - 4(1)(-11))) / (2(1)) = (16 ± √(256 + 44)) / (2) = (16 ± √(300)) / 2 = (16 ± 10√3) / 2 = 8 ± 5√3 Kita cek apakah solusi m memenuhi persamaan awal. Substitusikan m = (8 + 5√3) ke persamaan I : (-1/2) = (2 + m) / √(5(1 + m²)) (-1/2) = (2 + 8 + 5√3) / √(5(1 + (8 + 5√3)²)) (-1/2) = (10 + 5√3) / √(5 + 5(8 + 5√3)²) √(5 + 5(8 + 5√3)²) = (-2)(10 + 5√3) (√(5 + 5(8 + 5√3)²))² = (-20 - 10√3))² 5 + 5(8 + 5√3)² = 400 + 400√(3) + 300 5 + 5(64 + 80√(3) + 75) = 700 + 400√3 5 + 5(139 + 80√3) = 700 + 400√3 5 + 695 + 400√(3) = 700 + 400√3 700 + 400√(3) = 700 + 400√(3) Memenuhi, maka benar bahwa m = (8 + 5√3) adalah solusi. Jadi, nilai m yang mungkin adalah (8 + 5√3) atau (8 - 5√3). Semoga membantu ya. Semangat Belajar! :)