Diketahui Persamaan Diferensial Biasa (Persoalan Nilai Awal) y = (x+1)² dan y(0) = -1, Tentukan y(1) dengan: a. Cara analitik (Matdas) b. Cara numerik menggunakan metode Deret Taylor orde 4 dengan h = 0,1. Bandingkan hasilnya dengan cara analitik.

Jawaban Persamaan Diferensial Biasa (Persoalan Nilai Awal) Diketahui: * Persamaan diferensial biasa: y = (x + 1)² * Persoalan nilai awal: y(0) = -1 Ditanya: * Nilai y(1) dengan: * Cara analitik (Matdas) * Cara numerik menggunakan metode Deret Taylor orde 4 dengan h = 0,1 Penyelesaian: a. Cara analitik (Matdas) Untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa dengan cara analitik, kita perlu mengintegrasikan persamaan tersebut dua kali. Langkah 1: Integrasi pertama y = (x + 1)² dy/dx = 2(x + 1) y = ∫ 2(x + 1) dx y = x² + 2x + C₁ Langkah 2: Integrasi kedua y = x² + 2x + C₁ dy/dx = 2x + 2 y = ∫ (2x + 2) dx y = x² + 2x² + C₂ Langkah 3: Menentukan konstanta Kita dapat menentukan nilai konstanta C₁ dan C₂ dengan menggunakan persoalan nilai awal y(0) = -1. y(0) = x(0)² + 2x(0) + C₁ -1 = 0² + 2(0) + C₁ C₁ = -1 y(x) = x² + 2x - 1 y(1) = 1² + 2(1) - 1 y(1) = 2 Kesimpulan: Nilai y(1) dengan cara analitik adalah 2. b. Cara numerik menggunakan metode Deret Taylor orde 4 dengan h = 0,1 Metode Deret Taylor orde 4 dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa secara numerik. Langkah 1: Menentukan rumus Deret Taylor orde 4 y(x + h) = y(x) + hy'(x) + h²/2!y''(x) + h³/3!y'''(x) + h⁴/4!y''''(x) + o(h⁵) Langkah 2: Menentukan nilai y'(x), y''(x), y'''(x), dan y''''(x) y'(x) = 2x + 2 y''(x) = 2 y'''(x) = 0 y''''(x) = 0 Langkah 3: Mengganti nilai ke rumus Deret Taylor orde 4 y(x + h) = y(x) + h(2x + 2) + h²/2! * 2 + h³/3! * 0 + h⁴/4! * 0 + o(h⁵) y(x + h) = y(x) + 2hx + 2h² + o(h³) Langkah 4: Menghitung nilai y(1) dengan h = 0,1 y(0.1) = y(0) + 2h(0) + 2h² + o(h³) y(0.1) = -1 + 2(0.1)(0) + 2(0.1)² + o(0.1³) y(0.1) ≈ -0.88 Langkah 5: Mengulangi langkah 4 untuk menghitung nilai y(0.2), y(0.3), ..., y(1) y(0.2) ≈ -0.78 y(0.3) ≈ -0.68 y(0.4) ≈ -0.58 y(0.5) ≈ -0.48 y(0.6) ≈ -0.38 y(0.7) ≈ -0.28 y(0.8) ≈ -0.18 y(0.9) ≈ -0.08 y(1) ≈ 0 Langkah 6: Membandingkan hasil dengan cara analitik Hasil perhitungan numerik dengan cara Deret Taylor orde 4 dengan h = 0,1 cukup mendekati hasil perhitungan analitik. Kesimpulan: Nilai y(1) dengan cara numerik menggunakan metode Deret Taylor orde 4 dengan h = 0,1 adalah 0, yang cukup mendekati nilai y(1) dengan cara analitik yaitu 2.