1. Diketahui trapesium PQRS yang berada di dalam setengah lingkaran dengan pusat P dan jari-jari 2 satuan. QR sejajar PS, PQ membentuk sudut θ dengan diameter, 0 < θ < dan RS tegak lurus terhadap diameter. Tunjukkan bahwa keliling trapesium K(θ) = 2 + 6 cos θ + 2 sin θ tolong bantu kak

Question

Jawaban: terbukti bahwa keliling trapesium K(θ) = 2 + 6 cos θ + 2 sin θ.

Asumsikan bahwa 0 < θ < 90°

Ingat

sin (90 - A) = cos A
Aturan sinus pada segitiga ABC dengan panjang sisi a di depan sudut A, panjang sisi b di depan sudut B dan panjang sisi c didepan sudut C.

a/sin A = b/ sin B = c/ sin C

Ilustrasi trapesium PQRS yang berada di dalam setengah lingkaran dengan pusat P dan jari-jari 2 satuan dapat dilihat pada gambar lampiran.

Dari titik P dibuat garis PT yang tegak lurus QR. Panjang PT = RS dan TR = PS.

Trapesium PQRS merupakan trapesium siku-siku. Keliling trapesium PQRS = PQ + QR + RS + PS

Panjang PQ adalah 2 satuan karena PQ merupakan jari-jari lingkaran.

Perhatikan segitiga PQT.

∠APC = ∠PQT karena kedua sudut saling bersebrangan.

Akan dicari panjang PT dengan memanfaatkan aturan sinus.

TP/sin ∠PQT = PQ/ sin ∠PTQ

TP/ sin θ = 2/ sin 90°

TP / sin θ = 2/ 1

TP · 1 = 2 · sin θ

TP = 2 sin θ

PT = RS maka panjang RS adalah 2 sin θ

Perhatikan segitiga PQR

PQ dan PR merupakan jari-jari lingkaran, sehingga PQ =PR = 2 satuan. Karena PQ = PR maka segitiga PQR sama kaki.

Perhatikan!
PQ = PR
∠PQT = ∠PRT (segitiga sama kaki)
∠PQT = ∠PRT, ∠QTP = ∠RTP, maka ∠QPT = ∠RPT
dengan syarat sudut - sisi - sudut, maka ΔPTQ kongruen dengan ΔPTR. Akibatnya, QT = RT

Akan dicari panjang QT dengan memanfaatkan aturan sinus.

QT/sin ∠TPQ = PQ/ sin ∠PTQ

QT/ sin (90 - θ) = 2/ sin 90°

QT / cos θ = 2/ 1

QT · 1 = 2 · cos θ

QT = 2 cos θ

Didapat QT = 2 cos θ maka TR = 2 cos θ, sehingga:

QR = QT+TR

= 2 cos θ + 2 cos θ

= 4 cos θ

Panjang QR adalah 4 cos θ