Tentukannilai x → ∞ lim ​ 3 x + 2 sin x − 8 cos 4 x − 6 x ​ !

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah − 2 . Ingat! nilai cos x , selalu berada di antara − 1 dan 1 nilai sin x , selalu berada di antara − 1 dan 1 x → ∞ lim ​ x 1 ​ = 0 sifat limit: x → 0 lim ​ ( f ( x ) : f ( g )) = x → 0 lim ​ f ( x ) : x → 0 lim ​ f ( g ) Apabila nilai x = ∞ langsung di subsitusike fungsi 3 x + 2 sin x − 8 cos 4 x − 6 x ​ maka akan di peroleh nilai limit ∞ ∞ ​ . Oleh karena itu harus disederhanakan terlebih dahulu. Kalikan pembilang dan penyebut dengan x 1 ​ , sehingga: lim x → ∞ ​ 3 x + 2 s i n x − 8 c o s 4 x − 6 x ​ ​ = = = ​ lim x → ∞ ​ 3 x + 2 s i n x − 8 c o s 4 x − 6 x ​ ⋅ x 1 ​ x 1 ​ ​ lim x → ∞ ​ x 3 x ​ + x 2 sin x ​ − x 8 ​ x cos 4 x ​ − x 6 x ​ ​ lim x → ∞ ​ 3 + x 2 sin x ​ − x 8 ​ x cos 4 x ​ − 6 ​ ​ Nilai cos x , selalu berada di antara − 1 dan 1 , maka − 1 ≤ cos 4 x ≤ 1 , sehingga: − 1 x − 1 ​ lim x → ∞ ​ x − 1 ​ 0 ​ ≤ ≤ ≤ ≤ ​ cos 4 x ≤ 1 x c o s 4 x ​ ≤ x 1 ​ lim x → ∞ ​ x c o s 4 x ​ ≤ lim x → ∞ ​ x 1 ​ lim x → ∞ ​ x c o s 4 x ​ ≤ 0 ​ Oleh karena itu ​ ​ lim x → ∞ ​ ​ ​ ​ x c o s 4 x ​ ​ = ​ ​ 0 ​ . Begitu juga dengannilai sin x , selalu berada di antara − 1 dan 1 , maka − 1 ≤ sin x ≤ 1 . Sehingga: − 1 x − 1 ​ lim x → ∞ ​ x − 1 ​ 0 ​ ≤ ≤ ≤ ≤ ​ sin x ≤ 1 x s i n x ​ ≤ x 1 ​ lim x → ∞ ​ x s i n x ​ ≤ lim x → ∞ ​ x 1 ​ lim x → ∞ ​ x s i n x ​ ≤ 0 ​ Oleh karena itu ​ ​ lim x → ∞ ​ ​ ​ ​ x s i n x ​ ​ = ​ ​ 0 ​ . Sehingga di peroleh: lim x → ∞ ​ 3 + x 2 sin x ​ − x 8 ​ x cos 4 x ​ − 6 ​ ​ = = = = ​ x → ∞ lim ​ 3 + 2 x → ∞ lim ​ x sin x ​ − x → ∞ lim ​ x 8 ​ x → ∞ lim ​ x cos 4 x ​ − x → ∞ lim ​ 6 ​ 3 + 0 + 0 0 − 6 ​ 3 − 6 ​ − 2 ​ Dengan demikian nilai dari x → ∞ lim ​ 3 x + 2 sin x − 8 cos 4 x − 6 x ​ adalah − 2 .