Pertanyaan

Diketahui: ( f ∘ g ) ( x + 1 ) = 2 x 2 + 4 x + 4 f ( x ) = 2 x − 2 Tentukan g − 1 ( x ) dan g − 1 ( 38 ) .

Diketahui:

$(f \circ g) (x + 1) = 2 x^{2} + 4 x + 4$

$f (x) = 2 x - 2$

Tentukan $g^{- 1} (x)$ dan $g^{- 1} (38)$ .

S. Difhayanti

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. Hamka

Jawaban terverifikasi

Jawaban

hasil dari g − 1 ( 38 ) adalah ± 6 .

hasil dari

g^{- 1} (38)

adalah

\pm 6

Pembahasan

Ingat kembali sifat invers pada komposisi fungsi berikut. ( f ∘ g ) − 1 ( x ) = ( g − 1 ∘ f − 1 ) ( x ) Menerapkan konsep invers fungsi untuk menentukan invers dari f ( x ) = 2 x − 2 , Misalkan m = f ( x ) maka: f ( x ) m m + 2 2 m + 2 2 m + 2 2 x + 2 = = = = = = 2 x − 2 2 x − 2 2 x x f − 1 ( m ) f − 1 ( x ) Untuk fungsi komposisi ( f ∘ g ) ( x + 1 ) = 2 x 2 + 4 x + 4 dimisalkan: u = x + 1 x = u − 1 Sehingga, diperoleh: ( f ∘ g ) ( x + 1 ) ( f ∘ g ) ( u ) ( f ∘ g ) ( x ) = = = = = = 2 x 2 + 4 x + 4 2 ( u − 1 ) 2 + 4 ( u − 1 ) + 4 2 ( u 2 − 2 u + 1 ) + 4 u − 4 + 4 2 u 2 − 4 u + 2 + 4 u + 0 2 u 2 + 2 2 x 2 + 2 Kemudianmencari invers dari ( f ∘ g ) ( x ) yaitu ( f ∘ g ) − 1 ( x ) . Misalkan y = ( f ∘ g ( x )) maka: y y y − 2 2 y − 2 x y − 1 ( f ∘ g ) − 1 ( x ) = = = = = = = ( f ∘ g ) ( x ) 2 x 2 + 2 2 x 2 x 2 ± 2 y − 2 ± 2 y − 2 ± 2 x − 2 Dengan menerapkan sifat invers komposisi: ( f ∘ g ) − 1 ( x ) = g − 1 ∘ f − 1 ( x ) ± 2 x − 2 = g − 1 ( f − 1 ( x )) ± 2 x − 2 = g − 1 ( 2 x + 2 ) Jika p = 2 x + 2 → 2 p − 2 = x maka: ± 2 x − 2 ± 2 ( 2 p − 2 ) − 2 ± 2 2 p − 4 ± p − 2 ± x − 2 = = = = = g − 1 ( 2 x + 2 ) g − 1 ( p ) g − 1 ( p ) g − 1 ( p ) g − 1 ( x ) Sehingga, diperoleh untuk g − 1 ( 38 ) adalah g − 1 ( 38 ) = = = ± 38 − 2 ± 36 ± 6 Jadi, hasil dari g − 1 ( 38 ) adalah ± 6 .

Ingat kembali sifat invers pada komposisi fungsi berikut.

$(f \circ g)^{- 1} (x) = (g^{- 1} \circ f^{- 1}) (x)$

Menerapkan konsep invers fungsi untuk menentukan invers dari $f (x) = 2 x - 2$ ,

Misalkan $m = f (x)$ maka:

$f (x) m m + 2 \frac{m + 2}{2} \frac{m + 2}{2} \frac{x + 2}{2} = = = = = = 2 x - 2 2 x - 2 2 x x f^{- 1} (m) f^{- 1} (x)$

Untuk fungsi komposisi $(f \circ g) (x + 1) = 2 x^{2} + 4 x + 4$ dimisalkan:

$u = x + 1 x = u - 1$

Sehingga, diperoleh:

$(f \circ g) (x + 1) (f \circ g) (u) (f \circ g) (x) = = = = = = 2 x^{2} + 4 x + 4 2 (u - 1)^{2} + 4 (u - 1) + 4 2 (u^{2} - 2 u + 1) + 4 u - 4 + 4 2 u^{2} - 4 u + 2 + 4 u + 0 2 u^{2} + 2 2 x^{2} + 2$

Kemudian mencari invers dari $(f \circ g) (x)$ yaitu $(f \circ g)^{- 1} (x)$ .

Misalkan $y = (f \circ g (x))$ maka:

$y y y - 2 \frac{y - 2}{2} x y^{- 1} (f \circ g)^{- 1} (x) = = = = = = = (f \circ g) (x) 2 x^{2} + 2 2 x^{2} x^{2} \pm \frac{y - 2}{2} \pm \frac{y - 2}{2} \pm \frac{x - 2}{2}$

Dengan menerapkan sifat invers komposisi:

$(f \circ g)^{- 1} (x) = g^{- 1} \circ f^{- 1} (x) \pm \frac{x - 2}{2} = g^{- 1} (f^{- 1} (x)) \pm \frac{x - 2}{2} = g^{- 1} (\frac{x + 2}{2})$

Jika $p = \frac{x + 2}{2} \to 2 p - 2 = x$ maka:

$\pm \frac{x - 2}{2} \pm \frac{( 2 p - 2 ) - 2}{2} \pm \frac{2 p - 4}{2} \pm p - 2 \pm x - 2 = = = = = g^{- 1} (\frac{x + 2}{2}) g^{- 1} (p) g^{- 1} (p) g^{- 1} (p) g^{- 1} (x)$