Diketahui system persamaan :  {sin(x+y)=1+51​cosysin(x−y)=−1+cosy​  Dengan 0<y<2π​, maka cos2x=...

Pada segitiga ABC berlaku aturan sinus yang nilai perbandingannya adalah dua kali panjang jari-jari lingkaran luar segitiga, yaitu : 

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$ 

Dari aturan sinus tersebut diperoleh kesamaan : 

$$\begin{gathered} \frac{b}{\sin B}=2R\iff b=2Rs\mathrm{in}B \\ \frac{c}{\sin C}=2R\iff c=2Rs\mathrm{in}C \end{gathered}$$ 

Substitusi persamaan tersebut pada $$\frac{b-c}{b+c}$$, sehingga diperoleh 

$$\begin{array}{rcl}\frac{b-c}{b+c}& =& \frac{2R\sin B-2R\sin C}{2R\sin B+2R\sin C}\\ & =& \frac{2R\left(\sin B-\sin C\right)}{2R\left(\sin B+\sin C\right)}\\ & =& \frac{\sin B-\sin C}{\sin B+\sin C}\\ & =& \frac{2\cos \frac{1}{2}\left(B+C\right)\sin \frac{1}{2}\left(B-C\right)}{2\sin \frac{1}{2}\left(B+C\right)\cos \frac{1}{2}\left(B-C\right)}\\ & =& \cot \frac{1}{2}\left(B+C\right)\tan \frac{1}{2}\left(B-C\right)\\ & =& \cot \frac{1}{2}\left(180-A\right)\tan \frac{1}{2}\left(B-C\right)\\ & =& \cot \left(90-\frac{1}{2}A\right)\tan \frac{1}{2}\left(B-C\right)\\ & =& \tan \frac{1}{2}A\cdot \tan \frac{1}{2}\left(B-C\right)\\ & =& \frac{\tan \frac{1}{2}\left(B-C\right)}{\cot \frac{1}{2}A}\end{array}$$ 

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah E.

Ingat!!

Bentuk $$a\cos x+b\sin x$$ dapat diubah ke dalam bentuk $$r\cos \left(x-p\right)$$, dengan 

$$r=\sqrt{a^2+b^2}\mathrm{dan}\tan p=\frac{b}{a},-\pi \le \mathrm{p}\le \pi$$ 

Jika diketahui $$f\left(x\right)=a\cos \left(bx+c\right)+d$$, maka: 

• Nilai maksimum $$f\left(x\right)$$ adalah $$y_{\mathrm{maks}}=\left|a\right|+d$$ 
• Nilai minimum $$f\left(x\right)$$ adalah  

Sehingga 

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=a\cos x+b\sin x+a \\ f\left(x\right)=r\cos \left(x-p\right)+a \end{gathered}$$ 

Nilai maksimum $$f\left(x\right)$$ adalah $$9$$, maka $$r+a=9...\left(\mathrm{i}\right)$$ 

$$\begin{array}{rcl}g\left(x\right)& =& a\cos x+b\sin x+b\\ g\left(x\right)& =& r\cos \left(x-p\right)+b\end{array}$$ 

Nilai minimum $$g\left(x\right)$$ adalah $$-8$$, maka 

$$-r+b=-8...\left(\mathrm{ii}\right)$$ 

Dari persamaan $$\left(\mathrm{i}\right)$$ dan $$\left(\mathrm{ii}\right)$$ diperoleh 

 

Karena $$r\ge 0$$, nilai terkecil dari $$b-a$$ adalah saat $$r=0$$. 

Sehingga : 

$$b-a=-17$$  

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.

Ingat!

• $$2\cos A\cdot \cos B=\cos \left(A+\right)+\cos \left(A-B\right)$$ 
• $$\cos 2A=1-2{\sin }^{2}A$$ 

Perhatikan perhitungan berikut 

$$\sin \left(2x+75^{\circ }\right)=a$$ dan $$\sin \left(x+45^{\circ }\right)=b$$, maka 

$$\begin{gathered} \cos \left(3x+120^{\circ }\right)\cos \left(x+45^{\circ }\right) \\ =\frac{1}{2}\left(\cos \left(3x+120^{\circ }+x+30^{\circ }\right)+\cos \left(3x+120^{\circ }-\left(x+30^{\circ }\right)\right)\right) \\ =\frac{1}{2}\left(\cos \left(4x+150^{\circ }\right)+\cos \left(2x+90^{\circ }\right)\right) \\ =\frac{1}{2}\left(\cos 2\left(2x+75^{\circ }\right)+\cos 2\left(x+45^{\circ }\right)\right) \\ =\frac{1}{2}\left(1-2{\sin }^2\left(2x+75^{\circ }\right)+1-2{\sin }^2\left(x+45^{\circ }\right)\right) \\ =\frac{1}{2}\left(1-2a^2+1-2b^2\right) \\ =\frac{1}{2}\left(2-2a^2-2b^2\right) \\ =1-a^2-b^2 \end{gathered}$$  

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A. 

Persamaan $${\sin }^2(x+y)={\sin }^{2}x+{\sin }^{2}y$$ dapat dituliskan dengan

$${\left[\sin (x+y)\right]}^2={\sin }^{2}x+{\sin }^{2}y$$

Menggunakan aturan penjumlahan pada sinus maka

$$\begin{gathered} {\left[\sin (x+y)\right]}^2={\sin }^{2}x+{\sin }^{2}y \\ {\sin }^{2}x{\cos }^{2}y+{\sin }^{2}y{\cos }^{2}x+ \\ 2\sin x\cos y\cos x\sin y={\sin }^{2}x+{\sin }^{2}y \\ {\sin }^{2}x(1-{\sin }^{2}y)+{\sin }^{2}y(1-{\sin }^{2}x)+ \\ 2\sin x\cos y\cos x\sin y={\sin }^{2}x+{\sin }^{2}y \\ {\sin }^{2}x-{\sin }^{2}x{\sin }^{2}y+{\sin }^{2}y-{\sin }^{2}x{\sin }^{2}y+ \\ 2\sin x\cos y\cos x\sin y={\sin }^{2}x+{\sin }^{2}y \\ {\sin }^{2}x+{\sin }^{2}y-2{\sin }^{2}x{\sin }^{2}y+ \\ 2\sin x\cos y\cos x\sin y={\sin }^{2}x+{\sin }^{2}y \\ -2{\sin }^{2}x{\sin }^{2}y+2\sin x\cos y\cos x\sin y=0 \\ -2{\tan }^{2}x{\tan }^{2}y+2\tan x\tan y=0 \\ {\tan }^{2}x{\tan }^{2}y=\tan x\tan y \\ \tan x\tan y=1 \end{gathered}$$

Ingat bahwa $$\tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$$, maka

$$\begin{array}{rcl}\tan (x+y)& =& \frac{\tan x+\tan y}{1-1}\\ & =& \frac{\tan x+\tan y}{0}\\ & =& \infty \end{array}$$

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah E.  

Persamaan $${\sin }^2(x+y)={\sin }^{2}x+{\sin }^{2}y$$ dapat dituliskan dengan

$${\left[\sin (x+y)\right]}^2={\sin }^{2}x+{\sin }^{2}y$$

Menggunakan aturan penjumlahan pada sinus maka

$$\begin{gathered} {\left[\sin (x+y)\right]}^2={\sin }^{2}x+{\sin }^{2}y \\ {\sin }^{2}x{\cos }^{2}y+{\sin }^{2}y{\cos }^{2}x+ \\ 2\sin x\cos y\cos x\sin y={\sin }^{2}x+{\sin }^{2}y \\ {\sin }^{2}x(1-{\sin }^{2}y)+{\sin }^{2}y(1-{\sin }^{2}x)+ \\ 2\sin x\cos y\cos x\sin y={\sin }^{2}x+{\sin }^{2}y \\ {\sin }^{2}x-{\sin }^{2}x{\sin }^{2}y+{\sin }^{2}y-{\sin }^{2}x{\sin }^{2}y+ \\ 2\sin x\cos y\cos x\sin y={\sin }^{2}x+{\sin }^{2}y \\ {\sin }^{2}x+{\sin }^{2}y-2{\sin }^{2}x{\sin }^{2}y+ \\ 2\sin x\cos y\cos x\sin y={\sin }^{2}x+{\sin }^{2}y \\ -2{\sin }^{2}x{\sin }^{2}y+2\sin x\cos y\cos x\sin y=0 \\ -2{\tan }^{2}x{\tan }^{2}y+2\tan x\tan y=0 \\ {\tan }^{2}x{\tan }^{2}y=\tan x\tan y \\ \tan x\tan y=1 \end{gathered}$$

Ingat bahwa $$\tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$$, maka

$$\begin{array}{rcl}\tan (x+y)& =& \frac{\tan x+\tan y}{1-1}\\ & =& \frac{\tan x+\tan y}{0}\\ & =& \infty \end{array}$$

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah E.