Pertanyaan

Diketahui persamaan lingkaran 2 x 2 + 2 y 2 + 12 x − 8 y − 24 = 0 . Tentukan koordinat titik pusat dan panjang jari-jari lingkaran. Gambarkan grafiklingkarannya. Gambarkan pula garis singgung lingkaran yang melalui titik A ( − 2 , − 4 ) . Tentukan persamaan garis singgung lingkaran tersebut.

Diketahui persamaan lingkaran $2 x^{2} + 2 y^{2} + 12 x - 8 y - 24 = 0$ .

Tentukan koordinat titik pusat dan panjang jari-jari lingkaran.
Gambarkan grafik lingkarannya.
Gambarkan pula garis singgung lingkaran yang melalui titik $A (- 2, - 4)$ .
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran tersebut.

8 dari 10 siswa nilainya naik

dengan paket belajar pilihan

Habis dalam

Klaim

E. Julianingsih

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Yogyakarta

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat bahwa bentuk umum persamaan lingkaran adalah: x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 Sehingga: a. Tentukan koordinat titik pusat dan panjang jari-jari lingkaran. Untuk mencari koordinat titik pusat lingkaran menggunakan rumus: P ( − 2 A , − 2 B ) P ( − 2 A , − 2 B ) = = = P ( − 2 6 , − 2 ( − 4 ) ) P ( − 3 , − ( − 2 ) P ( − 3 , 2 ) Untuk menentukan jari-jari lingkaran menggunakan rumus: r = 4 A 2 + 4 B 2 − C r r = = = = = = 4 A 2 + 4 B 2 − C 4 6 2 + 4 ( − 4 ) 2 − ( − 12 ) 4 36 + 4 16 + 12 ) 9 + 4 + 12 25 5 Dengan demikian, titik pusat lingkaran P ( − 3 , 2 ) dan jari jari r = 5 . b. Gambar grafik lingkaran: c. Gambar garis singgung lingkaran yang melalui titik A ( − 2 , − 4 ) : Cari terlebih dahulu apakah titik A ( − 2 , − 4 ) beradadi dalam atau di luar lingkaran dengan cara subtitusi titik tersebut ke persamaan lingkaran: Dari perhitungan di atas diketahui bahwa 2 x 2 + 2 y 2 + 12 x − 8 y − 24 > 0 , maka titik A ( − 2 , − 4 ) berada di luar lingkaran. Sebelum melukis garis singgung, tentukandahulu persamaan garis dengan gradien m yang melalui A ( − 2 , − 4 ) , sebagai berikut: y − b y − ( − 4 ) y + 4 y y = = = = = m ( x − a ) m ( x − ( − 2 )) m ( x + 2 ) m x + 2 m − 4 m ( x + 2 ) − 4 Selanjutnya untuk mencari nilai m (gradien) pada garis singgung lingkaran dengan titik P ( a , b ) dengan menggunakanrumus: ( y − b ) = m ( x − a ) ± r m 2 + 1 . Diketahui titik pusat lingkaran yaitu P ( − 3 , 2 ) dengan jari-jari r = 5 dan garis singgung melalui titik A ( − 2 , − 4 ) , sehingga: Dari persamaan di atas, selanjutnya tentukan gradien garis yang bersinggungan dengan lingkaran dan melalui titik dengan menggunakan rumus m = 2 a − b ± b 2 − 4 ac . Subtitusi nilai ke persamaan y = m ( x + 2 ) − 4 , sebagai berikut: Mencari garis singgung pertama: y 1 y 1 = = = = = = = m ( x + 2 ) − 4 ( 4 1 + 12 5 3 ) ( x + 2 ) − 4 4 1 x + 4 2 + 12 5 3 x + 6 5 3 − 4 4 1 x + 12 5 3 x + 6 5 3 + 2 1 − 4 12 3 x + 5 3 x + 6 5 3 + 3 − 24 12 3 x + 12 5 3 x + 6 5 3 − 6 21 4 x + 12 5 3 x + 6 5 3 − 2 7 Mencari garis singgung kedua: y 1 y 2 = = = = = = = m ( x + 2 ) − 4 ( 4 1 − 12 5 3 ) ( x + 2 ) − 4 4 1 x + 4 2 − 12 5 3 x − 6 5 3 − 4 4 1 x − 12 5 3 x − 6 5 3 + 2 1 − 4 12 3 x − 5 3 x − 6 5 3 + 3 − 24 12 3 x − 12 5 3 x − 6 5 3 − 6 21 4 x − 12 5 3 x − 6 5 3 − 2 7 Garis singgung pada lingkaran dapat digambarkan sebagai berikut: d. Persamaan garis singgung lingkaran: Dari penjelasan di atas diperoleh dua persamaan garis singgung yang menyinggung lingkaran tersebut, yaitu: y 1 = 6 x + 12 5 3 x + 6 5 3 − 2 7 dan y 2 = 4 x − 12 5 3 x − 6 5 3 − 2 7

Ingat bahwa bentuk umum persamaan lingkaran adalah:

$x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$

Sehingga:

$2x^2+2y^2+12x-8y-24=0\;\rightarrow{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}(}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\div}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}2}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0})}\\{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}x}^{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}2}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}+}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}y}^{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}2}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}+}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}6}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}x}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}-}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}4}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}y}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}-}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}12}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}=}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}0}\\$

a. Tentukan koordinat titik pusat dan panjang jari-jari lingkaran.

Untuk mencari koordinat titik pusat lingkaran menggunakan rumus: $P (- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2})$

$P (- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}) = = = P (- \frac{6}{2}, - \frac{( - 4 )}{2}) P (- 3, - (- 2) P (- 3, 2)$

Untuk menentukan jari-jari lingkaran menggunakan rumus: $r = \frac{A ^{2}}{4} + \frac{B ^{2}}{4} - C$

$r r = = = = = = \frac{A ^{2}}{4} + \frac{B ^{2}}{4} - C \frac{6 ^{2}}{4} + \frac{( - 4 ) ^{2}}{4} - (- 12) \frac{36}{4} + \frac{16}{4} + 12) 9 + 4 + 12 255$

Dengan demikian, titik pusat lingkaran $P (- 3, 2)$ dan jari jari $r = 5$ .

b. Gambar grafik lingkaran:

c. Gambar garis singgung lingkaran yang melalui titik $A (- 2, - 4)$ :

Cari terlebih dahulu apakah titik $A (- 2, - 4)$ berada di dalam atau di luar lingkaran dengan cara subtitusi titik tersebut ke persamaan lingkaran:

$\begin{array}{rcl}2x^2+2y^2+12x-8y-24&=&0\\{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}x}^{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}2}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}+}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}y}^{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}2}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}+}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}6}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}x}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}-}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}4}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}y}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}-}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}12}&{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}=}&{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}0}\\{(-2)}^{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}2}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}+}{{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}(}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}-}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}4}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1})}}^{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}2}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}+}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}6}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}(}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}-}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}2}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1})}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}-}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}4}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}(}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}-}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}4}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1})}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}-}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}12}&{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}=}&{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}0}\\{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}4}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}+}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}16}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}-}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}12}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}+}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}16}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}-}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}12}&{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}=}&{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}0}\\{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}12}&{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}=}&{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}0}\end{array}$

Dari perhitungan di atas diketahui bahwa $2 x^{2} + 2 y^{2} + 12 x - 8 y - 24 > 0$ , maka titik $A (- 2, - 4)$ berada di luar lingkaran.

Sebelum melukis garis singgung, tentukan dahulu persamaan garis dengan gradien $m$ yang melalui $A (- 2, - 4)$ , sebagai berikut:

$y - b y - (- 4) y + 4 y y = = = = = m (x - a) m (x - (- 2)) m (x + 2) m x + 2 m - 4 m (x + 2) - 4$

Selanjutnya untuk mencari nilai $m$ (gradien) pada garis singgung lingkaran dengan titik $P (a, b)$ dengan menggunakan rumus: $(y - b) = m (x - a) \pm r m^{2} + 1$ .

Diketahui titik pusat lingkaran yaitu $P (- 3, 2)$ dengan jari-jari $r = 5$ dan garis singgung melalui titik $A (- 2, - 4)$ , sehingga:

Error converting from MathML to accessible text.

Dari persamaan di atas, selanjutnya tentukan gradien garis yang bersinggungan dengan lingkaran dan melalui titik dengan menggunakan rumus $m = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 ac}{2 a}$ .

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row m equals cell fraction numerator negative text b end text plus-or-minus square root of text b end text squared minus 4 text ac end text end root over denominator 2 text a end text end fraction end cell row m equals cell fraction numerator negative left parenthesis negative 12 right parenthesis plus-or-minus square root of left parenthesis negative 12 right parenthesis squared minus 4 left parenthesis 24 right parenthesis left parenthesis negative 11 right parenthesis end root over denominator 2 left parenthesis 24 right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 12 plus-or-minus square root of 144 plus 1.056 end root over denominator 48 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 12 plus-or-minus square root of 1200 over denominator 48 end fraction end cell row blank equals cell 12 over 48 plus-or-minus fraction numerator square root of 400 cross times 3 end root over denominator 48 end fraction end cell row blank equals cell 12 over 48 plus-or-minus fraction numerator 20 square root of 3 over denominator 48 end fraction rightwards arrow left parenthesis divided by 4 right parenthesis end cell row m equals cell 1 fourth plus-or-minus fraction numerator 5 square root of 3 over denominator 12 end fraction end cell end table$

Subtitusi nilai $table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row m equals cell 1 fourth plus-or-minus fraction numerator 5 square root of 3 over denominator 12 end fraction end cell end table$ ke persamaan $y = m (x + 2) - 4$ , sebagai berikut:

Mencari garis singgung pertama:

$y_{1} y_{1} = = = = = = = m (x + 2) - 4 (\frac{1}{4} + \frac{5 3}{12}) (x + 2) - 4 \frac{1}{4} x + \frac{2}{4} + \frac{5 3}{12} x + \frac{5 3}{6} - 4 \frac{1}{4} x + \frac{5 3}{12} x + \frac{5 3}{6} + \frac{1}{2} - 4 \frac{3 x + 5 3 x}{12} + \frac{5 3 + 3 - 24}{6} \frac{3}{12} x + \frac{5 3}{12} x + \frac{5 3}{6} - \frac{21}{6} \frac{x}{4} + \frac{5 3}{12} x + \frac{5 3}{6} - \frac{7}{2}$

Mencari garis singgung kedua:

$y_{1} y_{2} = = = = = = = m (x + 2) - 4 (\frac{1}{4} - \frac{5 3}{12}) (x + 2) - 4 \frac{1}{4} x + \frac{2}{4} - \frac{5 3}{12} x - \frac{5 3}{6} - 4 \frac{1}{4} x - \frac{5 3}{12} x - \frac{5 3}{6} + \frac{1}{2} - 4 \frac{3 x - 5 3 x}{12} - \frac{5 3 + 3 - 24}{6} \frac{3}{12} x - \frac{5 3}{12} x - \frac{5 3}{6} - \frac{21}{6} \frac{x}{4} - \frac{5 3}{12} x - \frac{5 3}{6} - \frac{7}{2}$

Garis singgung pada lingkaran dapat digambarkan sebagai berikut:

d. Persamaan garis singgung lingkaran:

Dari penjelasan di atas diperoleh dua persamaan garis singgung yang menyinggung lingkaran tersebut, yaitu: $y_{1} = \frac{x}{6} + \frac{5 3}{12} x + \frac{5 3}{6} - \frac{7}{2}$ dan $y_{2} = \frac{x}{4} - \frac{5 3}{12} x - \frac{5 3}{6} - \frac{7}{2}$