Diketahui : a = 3 i + 4 j + 5 k b = i + 3 k c = − 2 i + 3 j − 4 k Nyatakan sebagai vektor kolom! f. Apakah berlaku sifat komutatif dan asosiatif

Pembahasan

Diasumsikan yang ditanyakan adalah berlakunya sifat komutatif dan asosiatif pada penjumlahan vektor. Diketahui a = 3 i + 4 j + 5 k , b = i + 3 k , dan c = − 2 i + 3 j − 4 k . Vektor kolom dari vektor-vektor tersebut sebagai berikut. a = ⎝ ⎛ ​ 3 4 5 ​ ⎠ ⎞ ​ b = ⎝ ⎛ ​ 1 0 3 ​ ⎠ ⎞ ​ c = ⎝ ⎛ ​ − 2 3 − 4 ​ ⎠ ⎞ ​ Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa berlaku sifat komutatif pada penjumlahan vektor sebagai berikut. a + b ​ = = = ​ ⎝ ⎛ ​ 3 4 5 ​ ⎠ ⎞ ​ + ⎝ ⎛ ​ 1 0 3 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ 3 + 1 4 + 0 5 + 3 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ 4 4 8 ​ ⎠ ⎞ ​ ​ b + a ​ = = = ​ ⎝ ⎛ ​ 1 0 3 ​ ⎠ ⎞ ​ + ⎝ ⎛ ​ 3 4 5 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ 1 + 3 0 + 4 3 + 5 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ 4 4 8 ​ ⎠ ⎞ ​ ​ Berdasarkan uraian di atas, diperoleh a + b = b + a , maka pada penjumlahan vektor berlaku sifat komutatif. Kemudian, akan ditunjukkan bahwa berlaku sifat asosiatif pada penjumlahan vektor sebagai berikut. ( a + b ) + c ​ = = = ​ ⎝ ⎛ ​ ⎝ ⎛ ​ 3 4 5 ​ ⎠ ⎞ ​ + ⎝ ⎛ ​ 1 0 3 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎠ ⎞ ​ + ⎝ ⎛ ​ − 2 3 − 4 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ 4 4 8 ​ ⎠ ⎞ ​ + ⎝ ⎛ ​ − 2 3 − 4 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ 2 7 4 ​ ⎠ ⎞ ​ ​ a + ( b + c ) ​ = = = ​ ⎝ ⎛ ​ 3 4 5 ​ ⎠ ⎞ ​ + ⎝ ⎛ ​ ⎝ ⎛ ​ 1 0 3 ​ ⎠ ⎞ ​ + ⎝ ⎛ ​ − 2 3 − 4 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ 3 4 5 ​ ⎠ ⎞ ​ + ⎝ ⎛ ​ − 1 3 − 1 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ 2 7 4 ​ ⎠ ⎞ ​ ​ Berdasarkan uraian di atas, diperoleh ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ,maka pada penjumlahan vektor berlaku sifat asosiatif. Dengan demikian, pada penjumlahan vektor berlaku sifat komutatif dan asosiatif.