Diberikansebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P, Q, dan R secara berturut-turut adalah titik tengah rusuk AD, AB, dan BF. Jika α adalah sudut yang dibentuk oleh bidang alas ABCD dan bidang irisan penampang yang melalui titik P, Q, dan R, maka nilai dari cos α adalah ....

Pembahasan

Pertama, akan dicari irisan penampang yang melewati titik P, Q, dan R dengan langkah-langkah sebagai berikut. Hubungkan titik P, Q, danR. Garis BC akanmemotong garis PQdi titik X. Garis XR akan memotong garis FG di titik S dan memotong garis CG di titik Y. Garis CD akan memotong garis PQdi titik Z. Garis YZ akan memotong garis GH di titik T dan memotong garis DH di titik U. Irisan penampang yang melalui titik P, Q, dan R adalah bidang PQRSTU. Untuk lebih jelasnya, dapat diperhatikan gambar berikut. Selanjutnya, akandibuat bidang ACGE untuk memudahkan mememukan sudut antara bidang PQRSTU dengan bidang alas ABCD. Misalkan titik M dan N adalah perpotongan bidang ACGE dengan bidang PQRSTU. Karena titik P dan Q berturut-turut merupakan titik tengah darirusuk AB dan AD, maka garis PQ akan sejajar dengan garis BD. Kemudian, misalkan N adalah titik potong antara garis AC dan PQ. Dengan prinsip kesebangunan,panjang ruas garis AN dapat ditentukan sebagai berikut. Lalu, karena titik S dan T merupakan titik tengah rusuk FG dan HG, maka garis ST akan sejajar dengan garis HF. Misalkan M adalah titik potong antara garis EG dan ST. Dengan prinsip kesebangunan,panjang ruas garis MG dapat ditentukan sebagai berikut. Proyeksikan titik M ke alas, maka diperoleh titik M’ sehingga panjang ruas garis M'C sama dengan panjang ruas garis MGdan dapat diperiksa pula bahwa . Perhatikan gambar berikut ini!. Sudut yang dibentuk oleh bidang PQRSTU dan bidang alasadalah . Untuk mencari nilai dari , terlebih dahulu akan dicari panjang ruas garis MN dengan menggunakan Teorema Pythagoras sebagai berikut. Dengan demikian, didapat nilai dari sebagai berikut. Jadi, jawaban yang tepatadalah A.