Pertanyaan

Dari sebuah kantung berisi 2 bola putih dan x bola hitam diambil 3 bola secara acak. Jika peluang terambil 1 bola putih dan 2 bola hitam adalah 7 4 , maka peluang terambil ketiganya bola hitam adalah ....

Dari sebuah kantung berisi 2 bola putih dan $x$ bola hitam diambil 3 bola secara acak. Jika peluang terambil 1 bola putih dan 2 bola hitam adalah $\frac{4}{7}$ , maka peluang terambil ketiganya bola hitam adalah ....

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

S. Suharni

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah C.

Pembahasan

Dari soal di atas didapatkan bahwa percobaan yang dilakukan adalah mengambil3 bola dari total bola yang ada. Oleh karena itu, banyaknya titik sampel dari percobaan ini adalah sebagai berikut: Misalkan adalah kejadian terambil 1 bola putih dan 2 bola hitam. Banyaknya kemungkinankejadian , yaitu terambil 1 bola putih dari total 2 bola putih dan terambil 2 bola hitam dari total bola hitam adalah sebagai berikut: Karena peluang terambil 1 bola putih dan 2 bola hitam adalah , maka didapat persamaan berikut: Perhatikan bahwa dalam hal ini , ,dan karena akan menyebabkan penyebut pada ruas kananbernilai 0. Perhatikan perhitungan berikut! Karena ,maka haruslah atau . Dapat diperhatikan bahwa menyatakan banyak bola hitam sehingga haruslah merupakan bilangan bulat. Oleh karena itu, kita pilih . Kemudian, misalkan adalah kejadian terambil ketiganya bola hitam dari total 5 bola hitam. Banyak kemungkinan kejadian adalah sebagai berikut: Kemudian, dengan subsitusi kita peroleh banyak titik sampelnya adalah sebagai berikut: Dengan demikian, peluang terambil ketiganya bola hitam adalah sebagai berikut: Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

Dari soal di atas didapatkan bahwa percobaan yang dilakukan adalah mengambil 3 bola dari total bola yang ada.

Oleh karena itu, banyaknya titik sampel dari percobaan ini adalah sebagai berikut:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell n open parentheses S close parentheses end cell equals cell C presubscript 2 plus x end presubscript presuperscript subscript 3 end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses 2 plus x close parentheses factorial over denominator open parentheses open parentheses 2 plus x close parentheses minus 3 close parentheses factorial 3 factorial end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses x plus 2 close parentheses times open parentheses x plus 1 close parentheses times x times open parentheses x minus 1 close parentheses factorial over denominator open parentheses x minus 1 close parentheses factorial times 3 times 2 times 1 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses x plus 2 close parentheses times open parentheses x plus 1 close parentheses times x over denominator 3 times 2 times 1 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses x plus 2 close parentheses open parentheses x plus 1 close parentheses x over denominator 6 end fraction end cell end table end style$

Misalkan adalah kejadian terambil 1 bola putih dan 2 bola hitam.

Banyaknya kemungkinan kejadian , yaitu terambil 1 bola putih dari total 2 bola putih dan terambil 2 bola hitam dari total bola hitam adalah sebagai berikut:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell n open parentheses A close parentheses end cell equals cell C presubscript 2 presuperscript subscript 1 times C presubscript x presuperscript subscript 2 end cell row blank equals cell fraction numerator 2 factorial over denominator open parentheses 2 minus 1 close parentheses factorial 1 factorial end fraction times fraction numerator x factorial over denominator open parentheses x minus 2 close parentheses factorial 2 factorial end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 factorial over denominator 1 factorial 1 factorial end fraction times fraction numerator x open parentheses x minus 1 close parentheses open parentheses x minus 2 close parentheses factorial over denominator open parentheses x minus 2 close parentheses factorial 2 factorial end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 1 over denominator 1 times 1 end fraction times fraction numerator x open parentheses x minus 1 close parentheses over denominator 1 end fraction end cell row blank equals cell x open parentheses x minus 1 close parentheses end cell end table end style$

Karena peluang terambil 1 bola putih dan 2 bola hitam adalah , maka didapat persamaan berikut:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell P left parenthesis A right parenthesis end cell equals cell fraction numerator n left parenthesis A right parenthesis over denominator n left parenthesis S right parenthesis end fraction end cell row cell 4 over 7 end cell equals cell fraction numerator x open parentheses x minus 1 close parentheses over denominator begin display style fraction numerator open parentheses x plus 2 close parentheses open parentheses x plus 1 close parentheses x over denominator 6 end fraction end style end fraction end cell end table end style$

Perhatikan bahwa dalam hal ini , , dan karena akan menyebabkan penyebut pada ruas kanan bernilai 0.

Perhatikan perhitungan berikut!

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell fraction numerator x left parenthesis x minus 1 right parenthesis over denominator begin display style fraction numerator left parenthesis x plus 2 right parenthesis left parenthesis x plus 1 right parenthesis x over denominator 6 end fraction end style end fraction end cell equals cell 4 over 7 end cell row cell 7 times x left parenthesis x minus 1 right parenthesis end cell equals cell 4 times fraction numerator left parenthesis x plus 2 right parenthesis left parenthesis x plus 1 right parenthesis x over denominator 6 end fraction end cell row cell 7 x squared minus 7 x end cell equals cell 2 times fraction numerator left parenthesis x squared plus 3 x plus 2 right parenthesis x over denominator 3 end fraction end cell row cell 7 x squared minus 7 x end cell equals cell 2 over 3 left parenthesis x cubed plus 3 x squared plus 2 x right parenthesis end cell row cell 3 left parenthesis 7 x squared minus 7 x right parenthesis end cell equals cell 2 left parenthesis x cubed plus 3 x squared plus 2 x right parenthesis end cell row cell 21 x squared minus 21 x end cell equals cell 2 x cubed plus 6 x squared plus 4 x end cell row 0 equals cell 2 x cubed minus 15 x squared plus 25 x end cell row 0 equals cell x left parenthesis 2 x squared minus 15 x plus 25 right parenthesis end cell row 0 equals cell x left parenthesis 2 x minus 5 right parenthesis left parenthesis x minus 5 right parenthesis end cell row x equals cell 0 text atau end text x equals 5 over 2 text atau end text x equals 5 end cell end table end style$

Karena , maka haruslah atau .

Dapat diperhatikan bahwa menyatakan banyak bola hitam sehingga haruslah merupakan bilangan bulat. Oleh karena itu, kita pilih .

Kemudian, misalkan adalah kejadian terambil ketiganya bola hitam dari total 5 bola hitam. Banyak kemungkinan kejadian adalah sebagai berikut:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell n open parentheses B close parentheses end cell equals cell C presubscript 5 presuperscript subscript 3 end cell row blank equals cell fraction numerator 5 factorial over denominator open parentheses 5 minus 3 close parentheses factorial 3 factorial end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 5 times 4 times 3 factorial over denominator 2 factorial times 3 factorial end fraction end cell row blank equals cell 20 over 2 end cell row blank equals 10 end table end style$

Kemudian, dengan subsitusi kita peroleh banyak titik sampelnya adalah sebagai berikut:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell n open parentheses S close parentheses end cell equals cell fraction numerator open parentheses x plus 2 close parentheses open parentheses x plus 1 close parentheses x over denominator 6 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses 5 plus 2 close parentheses times open parentheses 5 plus 1 close parentheses times 5 over denominator 6 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 7 times 6 times 5 over denominator 6 end fraction end cell row blank equals cell 7 times 5 end cell row blank equals 35 end table end style$

Dengan demikian, peluang terambil ketiganya bola hitam adalah sebagai berikut:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell P open parentheses B close parentheses end cell equals cell fraction numerator n open parentheses B close parentheses over denominator n open parentheses S close parentheses end fraction end cell row blank equals cell 10 over 35 end cell row blank equals cell 2 over 7 end cell end table end style$

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.