Untuk menentukan kemiringan atap pada bangunan rumah diperlukan pemahaman konsep sudut antar dua vektor dan proyeksi vektornya agar atap yang dipasang sesuai pada tempatnya. Seorang kontraktor ingin membuat perhitungan tinggi dan kemiringan atap yang ideal untuk suatu rumah. Diketahui vektor p = −4i + 2j − 2k dan q = −3i + 3j. Tentukan : besar sudut yang dibentuk oleh p dan q

Jawaban yang benar adalah 30° Konsep : Jika diketahui : u = (u₁, u₂, u₃) = u₁i + u₂j+ u₃k v = (v₁, v₂, v₃) = v₁i + v₂j+ v₃k u•v = u₁v₁+ u₂v₂ + u₃v₃ |v| = √( v₁² + v₂² + v₃²) |u| = √( u₁² + u₂² + u₃²) Misalkan x sudut antara vektor u dan v : cos x = u•v/(|u||v|) |u| : panjang vektor u |v| : panjang vektor v Pembahasan : p = −4i + 2j − 2k = (-4, 2,-2) q = −3i + 3j = (-3, 3,0) p•q = -4·(-3) + 2·3 + (-2)·0 = 12 + 6 = 18 |p| = √((-4)²+2²+(-2)²) = √(16+4+4) = √(24) |q| = √((-3)²+3²+0²) = √(9+9) = √(18) |p| · |q| = √(24) · √(18) = √(6·4) · √(6·3) = √(6·4·6·3) = √(6·6·4·3) = √(36·4·3) = √(36) · √(4) · √(3) = √(6²) · √(2²) · √(3) = 6 · 2 · √(3) = 12√(3) Misalkan x sudut antara p dan q : cos x = (p • q)/(|p| · |q|) = 18/(12√(3)) = 3/(2√(3)) · √(3)/√(3) = 3√(3)/(2√(3) · √(3)) = 3√(3)/(2√(3²)) = 3√(3)/(2·3) = √(3)/2 = cos 30° Maka : x = 30° Jadi besar sudut antara p dan q adalah 30°