Untuk menentukan kemiringan atap pada bangunan rumah diperlukan pemahaman konsep sudut antar dua vektor dan proyeksi vektornya agar atap yang dipasang sesuai pada tempatnya. Seorang kontraktor ingin membuat perhitungan tinggi dan kemiringan atap yang ideal untuk suatu rumah. Diketahui vektor p = −4i + 2j − 2k dan q = −3i + 3j. Tentukan : proyeksi vektor ortogonal (5p + 5q) pada (5p - 5q)

Jawaban yang benar adalah -5i - 5j - 10k Konsep : Jika diketahui : u = (u₁, u₂, u₃) = u₁i + u₂j+ u₃k v = (v₁, v₂, v₃) = v₁i + v₂j+ v₃k u ± v = (u₁, u₂, u₃) ± (v₁, v₂, v₃) = (u₁±v₁, u₂±v₂, u₃±v₃) ku = k(u₁, u₂, u₃) = (ku₁, ku₂, ku₃) u•v = u₁v₁+ u₂v₂ + u₃v₃ |v| = √( v₁² + v₂² + v₃²) proyeksi ortogonal vektor u pada v = ((u•v)/|v|²) v Pembahasan : p = −4i + 2j − 2k = (-4, 2,-2) q = −3i + 3j = (-3, 3, 0) 5p + 5q = 5(-4, 2,-2) + 5(-3, 3, 0) = (5·(-4), 5·2, 5·(-2)) + (5·(-3), 5·3, 5·0) = (-20, 10, -10) + (-15, 15, 0) = (-20+(-15), 10+15, -10+0) = (-35, 25, -10) 5p - 5q = 5(-4, 2,-2) - 5(-3, 3, 0) = (5·(-4), 5·2, 5·(-2)) - (5·(-3), 5·3, 5·0) = (-20, 10, -10) - (-15, 15, 0) = (-20-(-15), 10-15, -10-0) = (-20+15, -5, -10) = (-5, -5, -10) (5p + 5q) • (5p - 5q) = (-35) · (-5) + 25 · (-5) + (-10) · (-10) = 175 - 125 + 100 = 150 |5p - 5q| = √((-5)²+(-5)²+(-10)²) = √(25+25+100) = √(150) proyeksi vektor ortogonal (5p + 5q) pada (5p - 5q) = (((5p + 5q) • (5p - 5q))/|5p - 5q|²) (5p - 5q) = (150/√(150)²) (5p - 5q) = (150/150) (5p - 5q) = (5p - 5q) = (-5, -5, -10) = -5i - 5j - 10k Jadi proyeksi vektor ortogonal (5p + 5q) pada (5p - 5q) adalah -5i - 5j - 10k