Rahma M
25 April 2023 17:15
Iklan
Rahma M
25 April 2023 17:15
Pertanyaan
Tentukan semua solusi bilangan bulat positif dari persamaan Diophantine berikut 7x + 5y = 100
Tentukan semua solusi bilangan bulat positif dari persamaan Diophantine berikut 7x + 5y = 100
1
1
Iklan
Samudra A
25 April 2023 17:22
<p>Untuk menyelesaikan persamaan Diophantine ini, kita dapat menggunakan algoritma Euclidean untuk mencari faktor persekutuan terbesar dari 7 dan 5, yang dalam hal ini adalah 1. Karena 1 membagi 100, maka solusi pasti ada.</p><p>Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:</p><p> </p><p>1. Carilah faktor persekutuan terbesar dari 7 dan 5 menggunakan algoritma Euclidean:</p><p> 7 = 1 × 5 + 2<br> 5 = 2 × 2 + 1<br> 2 = 2 × 1 + 0</p><p> Maka, FPB dari 7 dan 5 adalah 1.</p><p> </p><p>2. Kita dapat menuliskan solusi umum dari persamaan 7x + 5y = 100 dalam bentuk:</p><p> x = x0 + (5 / 1)t<br> y = y0 - (7 / 1)t</p><p> di mana t adalah bilangan bulat, dan x0 dan y0 adalah solusi partikular dari persamaan tersebut.</p><p> </p><p>3. Untuk mencari solusi partikular, kita dapat melakukan substitusi bilangan bulat positif untuk x dan y secara bergantian, dan memeriksa apakah keduanya memenuhi persamaan. Dalam hal ini, kita dapat memulai dengan mencoba nilai x = 5, sehingga:</p><p> 7x + 5y = 100<br> 7(5) + 5y = 100<br> 35 + 5y = 100<br> 5y = 65<br> y = 13</p><p> Maka, solusi partikular dari persamaan tersebut adalah x0 = 5 dan y0 = 13.</p><p> </p><p>4. Terakhir, kita dapat menentukan semua solusi bilangan bulat positif dari persamaan Diophantine tersebut dengan memasukkan nilai t ke dalam solusi umum yang telah ditemukan:</p><p> x = 5 + 5t<br> y = 13 - 7t</p><p> Kita perlu memeriksa bahwa kedua nilai x dan y adalah bilangan bulat positif. Dalam hal ini, kita dapat membatasi nilai t dari 1 hingga 12, karena jika t = 0, maka kita akan mendapatkan solusi partikular, dan jika t < 0, maka x dan y akan menjadi negatif.</p><p> Jadi, semua solusi bilangan bulat positif dari persamaan Diophantine 7x + 5y = 100 adalah:</p><p> x = 10 dan y = 10<br> x = 15 dan y = 3<br> x = 20 dan y = -4 (tidak valid)<br> x = 25 dan y = -11 (tidak valid)<br> x = 30 dan y = -18 (tidak valid)<br> x = 35 dan y = -25 (tidak valid)<br> x = 40 dan y = -32 (tidak valid)<br> x = 45 dan y = -39 (tidak valid)<br> x = 50 dan y = -46 (tidak valid)<br> x = 55 dan y = -53 (tidak valid)<br> x = 60 dan y = -60 (tidak valid)</p><p> Sehingga, terdapat dua solusi bilangan bulat positif dari persamaan tersebut, yaitu x = 10 dan y = 10, serta x = 15 dan y = 3.</p><p> </p><p>Semoga membantu :)</p>
Untuk menyelesaikan persamaan Diophantine ini, kita dapat menggunakan algoritma Euclidean untuk mencari faktor persekutuan terbesar dari 7 dan 5, yang dalam hal ini adalah 1. Karena 1 membagi 100, maka solusi pasti ada.
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Carilah faktor persekutuan terbesar dari 7 dan 5 menggunakan algoritma Euclidean:
7 = 1 × 5 + 2
5 = 2 × 2 + 1
2 = 2 × 1 + 0
Maka, FPB dari 7 dan 5 adalah 1.
2. Kita dapat menuliskan solusi umum dari persamaan 7x + 5y = 100 dalam bentuk:
x = x0 + (5 / 1)t
y = y0 - (7 / 1)t
di mana t adalah bilangan bulat, dan x0 dan y0 adalah solusi partikular dari persamaan tersebut.
3. Untuk mencari solusi partikular, kita dapat melakukan substitusi bilangan bulat positif untuk x dan y secara bergantian, dan memeriksa apakah keduanya memenuhi persamaan. Dalam hal ini, kita dapat memulai dengan mencoba nilai x = 5, sehingga:
7x + 5y = 100
7(5) + 5y = 100
35 + 5y = 100
5y = 65
y = 13
Maka, solusi partikular dari persamaan tersebut adalah x0 = 5 dan y0 = 13.
4. Terakhir, kita dapat menentukan semua solusi bilangan bulat positif dari persamaan Diophantine tersebut dengan memasukkan nilai t ke dalam solusi umum yang telah ditemukan:
x = 5 + 5t
y = 13 - 7t
Kita perlu memeriksa bahwa kedua nilai x dan y adalah bilangan bulat positif. Dalam hal ini, kita dapat membatasi nilai t dari 1 hingga 12, karena jika t = 0, maka kita akan mendapatkan solusi partikular, dan jika t < 0, maka x dan y akan menjadi negatif.
Jadi, semua solusi bilangan bulat positif dari persamaan Diophantine 7x + 5y = 100 adalah:
x = 10 dan y = 10
x = 15 dan y = 3
x = 20 dan y = -4 (tidak valid)
x = 25 dan y = -11 (tidak valid)
x = 30 dan y = -18 (tidak valid)
x = 35 dan y = -25 (tidak valid)
x = 40 dan y = -32 (tidak valid)
x = 45 dan y = -39 (tidak valid)
x = 50 dan y = -46 (tidak valid)
x = 55 dan y = -53 (tidak valid)
x = 60 dan y = -60 (tidak valid)
Sehingga, terdapat dua solusi bilangan bulat positif dari persamaan tersebut, yaitu x = 10 dan y = 10, serta x = 15 dan y = 3.
Semoga membantu :)
· 0.0 (0)
Iklan
Mau jawaban yang terverifikasi?
Tanya ke AiRIS
Yuk, cobain chat dan belajar bareng AiRIS, teman pintarmu!
LATIHAN SOAL GRATIS!
Drill Soal
Latihan soal sesuai topik yang kamu mau untuk persiapan ujian
Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!
