Tentukan semua bilangan bulat positif a, b sedemikian sehingga FPB (a, b) = 12 dan KPK (a, b) = 432

Kita perlu mencari dua bilangan bulat positif a dan b yang memiliki faktor persekutuan terbesar (FPB) 12 dan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) 432. Kita bisa menuliskan faktorisasi prima dari 432 sebagai berikut: 432 = 2^4 * 3^3 Karena FPB(a, b) = 12, maka faktorisasi prima dari 12 adalah 2^2 * 3^1. Kita dapat menuliskan a dan b sebagai berikut: a = 2^2 * 3^m * x b = 2^2 * 3^n * y dengan x dan y bilangan bulat positif yang tidak mengandung faktor persekutuan dengan 2 dan 3, dan m dan n bilangan bulat yang mungkin sama atau berbeda. Karena KPK(a, b) = 432, maka kita juga dapat menuliskan: a * b = 2^4 * 3^3 * x * y * 3^(m+n) Karena FPB(a, b) = 12, maka a dan b harus memiliki faktor persekutuan 2^2 * 3^1. Oleh karena itu, nilai m dan n harus masing-masing lebih besar atau sama dengan 1, dan kita dapat menuliskan: m = 1 + p n = 1 + q dengan p dan q bilangan bulat tak negatif. Kita dapat menggabungkan semua persamaan ini untuk mendapatkan: a = 2^2 * 3^(1+p) * x b = 2^2 * 3^(1+q) * y a * b = 2^4 * 3^3 * x * y * 3^(p+q+2) Karena a dan b harus merupakan faktor dari 432, maka kita dapat menyimpulkan bahwa: p + q + 2 ≤ 3 Karena p dan q adalah bilangan bulat tak negatif, maka kita hanya perlu memeriksa kasus-kasus berikut: 1. Jika p = 0 dan q = 0, maka kita dapat memilih x = 1 dan y = 36, sehingga a = 12 dan b = 162. 2. Jika p = 0 dan q = 1, maka kita dapat memilih x = 3 dan y = 12, sehingga a = 36 dan b = 48. 3. Jika p = 1 dan q = 0, maka kita dapat memilih x = 4 dan y = 9, sehingga a = 48 dan b = 36. 4. Jika p = 1 dan q = 1, maka kita dapat memilih x = 3 dan y = 4, sehingga a = 108 dan b = 144. Jadi, semua pasangan bilangan bulat positif yang memenuhi FPB(a, b) = 12 dan KPK(a, b) = 432 adalah: (12, 162), (36, 48), (48, 36), dan (108, 144). Semoga membantu :)