Tentukan salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + 6x - 8y - 10 = 0 yang tegak lurus garis 2y - x + 7 = 0 !

Topik yang dibahas adalah tentang persamaan garis singgung lingkaran yang tegak lurus dengan garis lain. Dalam pertanyaan ini, pengguna meminta untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran x^(2)+y^(2)+6x−8y−10=0 yang tegak lurus dengan garis 2y−x+7 =0. Penjelasan: 1. Pertama, kita perlu mencari pusat dan jari-jari lingkaran. Diketahui persamaan lingkaran adalah x^(2)+y^(2)+6x−8y−10=0, kita ubah ke bentuk standar (x-h)²+(y-k)²=r². Dengan demikian, pusat lingkaran (h,k) dan jari-jari r dapat ditentukan. 2. Kedua, kita perlu mencari gradien garis yang tegak lurus dengan garis 2y−x+7 =0. Gradien garis tersebut adalah -1/m, dimana m adalah gradien garis yang diberikan. 3. Ketiga, kita dapat menentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan rumus y=mx+(-rsqrt(m²+1)). Untuk mencari pusat dan jari-jari lingkaran, kita perlu mengubah persamaan lingkaran ke bentuk standar (x-h)²+(y-k)²=r². Dalam persamaan lingkaran x^(2)+y^(2)+6x−8y−10=0, kita akan lengkapi persamaan tersebut. 1. Kita kelompokkan suku-suku yang mengandung x dan y. x^(2)+6x + y^(2)−8y = 10 2. Kita lengkapi kuadrat sempurna untuk suku-suku yang mengandung x dan y. (x^(2)+6x+9) + (y^(2)−8y+16) = 10+9+16 3. Kita faktorkan kuadrat sempurna yang telah kita lengkapi. (x+3)^(2) + (y−4)^(2) = 35 Dari persamaan tersebut, kita bisa lihat bahwa pusat lingkaran adalah (-3,4) dan jari-jarinya adalah akar kuadrat dari 35. Gradien garis bisa kita cari dengan menggunakan persamaan umum garis y = mx + c, di mana m adalah gradien. Dalam persamaan garis 2y−x+7 = 0, kita bisa menuliskan ulang persamaannya dalam bentuk y = mx + c. 1. Kita pindahkan suku -x ke sebelah kiri persamaan. 2y = x - 7 2. Kita bagi kedua sisi persamaan dengan 2 untuk mendapatkan bentuk y. y = 1/2x - 7/2 Dari persamaan tersebut, kita bisa lihat bahwa gradien garis tersebut adalah 1/2. Sekarang, mari kita lanjut ke langkah ketiga, yaitu menentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan rumus y = mx + (-r√(m²+1)). Kita akan menggunakan pusat (-3,4) dan jari-jari akar kuadrat dari 35 yang telah kita tentukan sebelumnya. 1. Ganti nilai m dengan -1/m, sehingga menjadi -2. 2. Ganti nilai r dengan akar kuadrat dari 35. 3. Masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus persamaan garis singgung lingkaran. y = -2x - √(35) Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang tegak lurus dengan garis 2y−x+7 = 0 adalah y = -2x - √(35).