Tentukan nilai x yang memenuhi: |2x²-8x-1|≥9

Jawaban yang benar adalah HP = {x∈ R | x ≤ -1 atau 2-2√2 ≤ x ≤ 2+2√2 atau x ≥ 5 } . Untuk mengerjakan soal tersebut kita perlu mengingat sifat nilai mutlak berikut. 1. Diberikan bilangan real a>0. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan |f(x)| ≥ a adalah nilai x sedemikian hingga f(x) ≥ a atau f(x) ≤ -a. Akan dicari himpunan penyelesaian dari |2x²-8x-1|≥9. Dalam soal ini dimisalkan f(x) = 2x²-8x-1 dan a = 9. Akibatnya berdasarkan konsep yang sudah dituliskan solusi dari pertidaksamaan |f(x)| ≥ a adalah 1. Nilai x sedemikian hingga f(x) ≥ a. Diperhatikan bahwa f(x) ≥ a 2x²-8x-1 ≥ 9 2x²-8x-1 - 9 ≥ 9 - 9 2x²-8x-10 ≥ 0 (2x+2)(x-5) ≥ 0 Pembuat nol dari pertidaksamaan tersebut adalah 2x + 2 = 0 ⇒ 2x = -2 ⇒ x = -2/2 = -1 dan x - 5 = 0 ⇒ x = 5 Selanjutnya dilakukan uji titik. Untuk x ≤ -1 dicoba x = -2 sehingga diperoleh (2x+2)(x-5) = (2(-2)+2)((-2)-5) = (-2)(-7) = 14 > 0. Untuk -1 ≤ x ≤ 5 dicoba x = 0 sehingga diperoleh (2x+2)(x-5) = (2(0)+2)((0)-5) = (2)(-5) = -10 < 0. Untuk x ≥ 5 dicoba x = 6 sehingga diperoleh (2x+2)(x-5) = (2(6)+2)((6)-5) = (14)(1) = 14 > 0. Oleh karena tanda pertidaksamaan ≥ 0, maka dipilih daerah yang memiliki hasil > 0. Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x²-8x-1 ≥ 9 adalah HP = {x∈ R | x ≤ -1 atau x ≥ 5 }. 2. Nilai x sedemikian hingga f(x) ≤ -a. Diperhatikan bahwa f(x) ≤ -a 2x²-8x-1 ≤ -9 2x²-8x-1 + 9 ≤ -9 + 9 2x²-8x-8 ≤ 0 Dengan mengunakan rumus ABC diperoleh Pembuat nol dari pertidaksamaan tersebut adalah x = (-b±√(b²-4ac))/2a x = (-(-8)±√((-8)²-4(2)(-8)))/2(2) x = (8±√(64+64))/4 x = (8±8√(2))/4 x = 2±2√2 Jadi, pembuat nolnya adalah x = 2+2√2 dan x=2-2√2 Selanjutnya dilakukan uji titik. Untuk x ≤ 2-2√2 dicoba x = -10 sehingga diperoleh 2x²-8x-8 = 2(-10)²-8(-10)-8 = 200 + 80 - 8 = 272 > 0. Untuk 2-2√2 ≤ x ≤ 2+2√2 dicoba x = 0 sehingga diperoleh 2x²-8x-8 = 2(0)²-8(0)-8 = 0 - 0 -8 = -8 <0. Untuk x ≥ 2+2√2 dicoba x = 10 sehingga diperoleh 2x²-8x-8 = 2(10)²-8(10)-8 =200 - 80 - 8= 112 > 0. Oleh karena tanda pertidaksamaan ≤ 0, maka dipilih daerah yang memiliki hasil < 0. Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x²-8x-8 ≤ 0 adalah HP = {x∈ R | 2-2√2 ≤ x ≤ 2+2√2 }. Dari 1) dan 2) diperoleh himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |2x²-8x-1|≥9 adalah HP = {x∈ R | x ≤ -1 atau x ≥ 5 } ∪ {x∈ R | 2-2√2 ≤ x ≤ 2+2√2 } HP = {x∈ R | x ≤ -1 atau 2-2√2 ≤ x ≤ 2+2√2 atau x ≥ 5 } Jadi, himpunan penyelesaian dari |2x²-8x-1|≥9 adalah HP = {x∈ R | x ≤ -1 atau 2-2√2 ≤ x ≤ 2+2√2 atau x ≥ 5 } .