Fajar A

30 Januari 2023 13:29

Iklan

Fajar A

30 Januari 2023 13:29

Pertanyaan

Tentukan nilai limit berikut jika ada! lim(x-->∞) x^(2) (1 - cos (2/x))

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

01

:

22

:

34

:

36

Klaim

1

1

Jawaban terverifikasi

Iklan

Y. Frando

28 September 2023 07:52

Jawaban terverifikasi

<p>Jawaban yang benar adalah 2.</p><p>&nbsp;</p><p>Diketahui:</p><p>lim(x--&gt;∞) x^(2) (1 - cos (2/x))</p><p>&nbsp;</p><p>Ditanya:</p><p>Hasil limit = ...?</p><p>&nbsp;</p><p>Jawab:</p><p>Ingat konsep berikut:</p><p>(i) lim x→0 [sin (x)/(x)] = 1.</p><p>(ii) (1 - cos 2x)/2 = sin<sup>2</sup> x.</p><p>(iii) a<sup>m</sup> . b<sup>m</sup> = (a.b)<sup>m</sup>.</p><p>&nbsp;</p><p>Berdasarkan penjelasan di atas, ketika x = ∞ disubstitusi ke fungsi limit, diperoleh bentuk tak tentu yaitu:</p><p>lim(x--&gt;∞) x^(2) (1 - cos (2/x))</p><p>= ∞<sup>2</sup> (1 - cos (2/∞))</p><p>= ∞<sup>2</sup> (1 - cos 0°)</p><p>= ∞<sup>2</sup> (1 - 1)</p><p>= ∞<sup>2</sup> . 0.</p><p>&nbsp;</p><p>Selanjutnya, misalkan 1/x = a ---&gt; a = 1/∞ = 0, sehingga diperoleh bentuk fungsi limit menjadi:</p><p>lim(x--&gt;∞) x^(2) (1 - cos (2/x))</p><p>= lim(a--&gt;0) (1/a)<sup>2</sup> (1 - cos (2a))</p><p>= lim(a--&gt;0) (1/a)<sup>2</sup> (1 - cos (2a)).</p><p>&nbsp;</p><p>Lalu dari sifat sudut trigonometri nomor (ii) di atas, suku (1 - cos (2a)) diubah menjadi bentuk berikut:</p><p>(1 - cos 2a)/2 = sin<sup>2</sup> (a)</p><p>(1 - cos 2a) = 2 sin<sup>2</sup> (a).</p><p>&nbsp;</p><p>Selanjutnya gunakan sifat nomor (i) dan dari bentuk di atas diperoleh nilai limitnya yaitu:</p><p>lim(x--&gt;∞) x^(2) (1 - cos (2/x))</p><p>= lim(a--&gt;0) (1/a)<sup>2</sup> (1 - cos (2a))</p><p>= lim(a--&gt;0) (1/a)<sup>2</sup> (2 sin<sup>2</sup> (a))</p><p>= 2 . lim(a--&gt;0) (1/a)<sup>2</sup> sin<sup>2</sup> (a)</p><p>= 2 . lim(a--&gt;0) (1/a)<sup>2</sup> (sin (a))<sup>2</sup> ----&gt; gunakan konsep nomor (iii)</p><p>= 2 . lim(a--&gt;0) (sin (a)/(a))<sup>2</sup></p><p>= 2 . (1)<sup>2</sup></p><p>= 2 . 1</p><p>= 2.</p><p>&nbsp;</p><p>Jadi, nilai dari lim(x--&gt;∞) x^(2) (1 - cos (2/x)) adalah 2.</p>

Jawaban yang benar adalah 2.

 

Diketahui:

lim(x-->∞) x^(2) (1 - cos (2/x))

 

Ditanya:

Hasil limit = ...?

 

Jawab:

Ingat konsep berikut:

(i) lim x→0 [sin (x)/(x)] = 1.

(ii) (1 - cos 2x)/2 = sin2 x.

(iii) am . bm = (a.b)m.

 

Berdasarkan penjelasan di atas, ketika x = ∞ disubstitusi ke fungsi limit, diperoleh bentuk tak tentu yaitu:

lim(x-->∞) x^(2) (1 - cos (2/x))

= ∞2 (1 - cos (2/∞))

= ∞2 (1 - cos 0°)

= ∞2 (1 - 1)

= ∞2 . 0.

 

Selanjutnya, misalkan 1/x = a ---> a = 1/∞ = 0, sehingga diperoleh bentuk fungsi limit menjadi:

lim(x-->∞) x^(2) (1 - cos (2/x))

= lim(a-->0) (1/a)2 (1 - cos (2a))

= lim(a-->0) (1/a)2 (1 - cos (2a)).

 

Lalu dari sifat sudut trigonometri nomor (ii) di atas, suku (1 - cos (2a)) diubah menjadi bentuk berikut:

(1 - cos 2a)/2 = sin2 (a)

(1 - cos 2a) = 2 sin2 (a).

 

Selanjutnya gunakan sifat nomor (i) dan dari bentuk di atas diperoleh nilai limitnya yaitu:

lim(x-->∞) x^(2) (1 - cos (2/x))

= lim(a-->0) (1/a)2 (1 - cos (2a))

= lim(a-->0) (1/a)2 (2 sin2 (a))

= 2 . lim(a-->0) (1/a)2 sin2 (a)

= 2 . lim(a-->0) (1/a)2 (sin (a))2 ----> gunakan konsep nomor (iii)

= 2 . lim(a-->0) (sin (a)/(a))2

= 2 . (1)2

= 2 . 1

= 2.

 

Jadi, nilai dari lim(x-->∞) x^(2) (1 - cos (2/x)) adalah 2.


Iklan

Mau pemahaman lebih dalam untuk soal ini?

Tanya ke Forum

Biar Robosquad lain yang jawab soal kamu

Tanya ke Forum

LATIHAN SOAL GRATIS!

Drill Soal

Latihan soal sesuai topik yang kamu mau untuk persiapan ujian

Cobain Drill Soal

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

Pertanyaan serupa

Nyatakan dalam bentuk pangkat ! ²log8=3

270

3.0

Jawaban terverifikasi