Fajar A
30 Januari 2023 13:29
Iklan
Fajar A
30 Januari 2023 13:29
Pertanyaan
Tentukan nilai limit berikut jika ada! lim(x-->∞) x^(2) (1 - cos (2/x))
1
1
Iklan
Y. Frando
28 September 2023 07:52
<p>Jawaban yang benar adalah 2.</p><p> </p><p>Diketahui:</p><p>lim(x-->∞) x^(2) (1 - cos (2/x))</p><p> </p><p>Ditanya:</p><p>Hasil limit = ...?</p><p> </p><p>Jawab:</p><p>Ingat konsep berikut:</p><p>(i) lim x→0 [sin (x)/(x)] = 1.</p><p>(ii) (1 - cos 2x)/2 = sin<sup>2</sup> x.</p><p>(iii) a<sup>m</sup> . b<sup>m</sup> = (a.b)<sup>m</sup>.</p><p> </p><p>Berdasarkan penjelasan di atas, ketika x = ∞ disubstitusi ke fungsi limit, diperoleh bentuk tak tentu yaitu:</p><p>lim(x-->∞) x^(2) (1 - cos (2/x))</p><p>= ∞<sup>2</sup> (1 - cos (2/∞))</p><p>= ∞<sup>2</sup> (1 - cos 0°)</p><p>= ∞<sup>2</sup> (1 - 1)</p><p>= ∞<sup>2</sup> . 0.</p><p> </p><p>Selanjutnya, misalkan 1/x = a ---> a = 1/∞ = 0, sehingga diperoleh bentuk fungsi limit menjadi:</p><p>lim(x-->∞) x^(2) (1 - cos (2/x))</p><p>= lim(a-->0) (1/a)<sup>2</sup> (1 - cos (2a))</p><p>= lim(a-->0) (1/a)<sup>2</sup> (1 - cos (2a)).</p><p> </p><p>Lalu dari sifat sudut trigonometri nomor (ii) di atas, suku (1 - cos (2a)) diubah menjadi bentuk berikut:</p><p>(1 - cos 2a)/2 = sin<sup>2</sup> (a)</p><p>(1 - cos 2a) = 2 sin<sup>2</sup> (a).</p><p> </p><p>Selanjutnya gunakan sifat nomor (i) dan dari bentuk di atas diperoleh nilai limitnya yaitu:</p><p>lim(x-->∞) x^(2) (1 - cos (2/x))</p><p>= lim(a-->0) (1/a)<sup>2</sup> (1 - cos (2a))</p><p>= lim(a-->0) (1/a)<sup>2</sup> (2 sin<sup>2</sup> (a))</p><p>= 2 . lim(a-->0) (1/a)<sup>2</sup> sin<sup>2</sup> (a)</p><p>= 2 . lim(a-->0) (1/a)<sup>2</sup> (sin (a))<sup>2</sup> ----> gunakan konsep nomor (iii)</p><p>= 2 . lim(a-->0) (sin (a)/(a))<sup>2</sup></p><p>= 2 . (1)<sup>2</sup></p><p>= 2 . 1</p><p>= 2.</p><p> </p><p>Jadi, nilai dari lim(x-->∞) x^(2) (1 - cos (2/x)) adalah 2.</p>
Jawaban yang benar adalah 2.
Diketahui:
lim(x-->∞) x^(2) (1 - cos (2/x))
Ditanya:
Hasil limit = ...?
Jawab:
Ingat konsep berikut:
(i) lim x→0 [sin (x)/(x)] = 1.
(ii) (1 - cos 2x)/2 = sin2 x.
(iii) am . bm = (a.b)m.
Berdasarkan penjelasan di atas, ketika x = ∞ disubstitusi ke fungsi limit, diperoleh bentuk tak tentu yaitu:
lim(x-->∞) x^(2) (1 - cos (2/x))
= ∞2 (1 - cos (2/∞))
= ∞2 (1 - cos 0°)
= ∞2 (1 - 1)
= ∞2 . 0.
Selanjutnya, misalkan 1/x = a ---> a = 1/∞ = 0, sehingga diperoleh bentuk fungsi limit menjadi:
lim(x-->∞) x^(2) (1 - cos (2/x))
= lim(a-->0) (1/a)2 (1 - cos (2a))
= lim(a-->0) (1/a)2 (1 - cos (2a)).
Lalu dari sifat sudut trigonometri nomor (ii) di atas, suku (1 - cos (2a)) diubah menjadi bentuk berikut:
(1 - cos 2a)/2 = sin2 (a)
(1 - cos 2a) = 2 sin2 (a).
Selanjutnya gunakan sifat nomor (i) dan dari bentuk di atas diperoleh nilai limitnya yaitu:
lim(x-->∞) x^(2) (1 - cos (2/x))
= lim(a-->0) (1/a)2 (1 - cos (2a))
= lim(a-->0) (1/a)2 (2 sin2 (a))
= 2 . lim(a-->0) (1/a)2 sin2 (a)
= 2 . lim(a-->0) (1/a)2 (sin (a))2 ----> gunakan konsep nomor (iii)
= 2 . lim(a-->0) (sin (a)/(a))2
= 2 . (1)2
= 2 . 1
= 2.
Jadi, nilai dari lim(x-->∞) x^(2) (1 - cos (2/x)) adalah 2.
· 0.0 (0)
Iklan
Mau pemahaman lebih dalam untuk soal ini?
Tanya ke AiRIS
Yuk, cobain chat dan belajar bareng AiRIS, teman pintarmu!
LATIHAN SOAL GRATIS!
Drill Soal
Latihan soal sesuai topik yang kamu mau untuk persiapan ujian
Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!
