Tentukan nilai limit berikut jika ada! lim(x-->∞) (5 + 2 sin 5x)/x

<p>Jawaban yang benar adalah 0.</p><p>&nbsp;</p><p>Diketahui:</p><p>lim(x--&gt;∞) (5 + 2 sin 5x)/x.</p><p>&nbsp;</p><p>Ditanya:</p><p>Nilai limit = ...?</p><p>&nbsp;</p><p>Jawab:</p><p>Ingat konsep berikut:</p><p>(i) Teorema apit:</p><p>Jika g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) untuk semua x ∈ U(a, ε) dan lim (x --&gt; a) g(x) = lim (x --&gt; a) h(x) = A, maka lim (x --&gt; a) f(x) = A.</p><p>&nbsp;</p><p>(ii) lim(x-&gt;∞) a/xⁿ = 0.</p><p>&nbsp;</p><p>(iii) Rentang nilai fungsi sinus adalah: -1 ≤ sin x ≤ 1.</p><p>&nbsp;</p><p>Sehingga dari teorema apit untuk pembilang diperoleh:</p><p>-1 ≤ sin 5x ≤ 1 ---&gt; kalikan 2 di setiap ruas</p><p>-2 ≤ 2 sin 5x ≤ 2 ---&gt; tambah 5 di setiap ruas</p><p>3 ≤ (2 sin 5x) + 5 ≤ 7</p><p>&nbsp;</p><p>Selanjutnya setiap ruas dikalikan dengan 1/x maka diperoleh:</p><p>3/x ≤ [(2 sin 5x) + 5]/x ≤ 7/x.</p><p>&nbsp;</p><p>Tinjau batas bawah:</p><p>lim(x--&gt;∞) [3/x]</p><p>= 3/∞</p><p>= 0.</p><p>&nbsp;</p><p>Tinjau batas atas:</p><p>lim(x--&gt;∞) [7/x]</p><p>= 7/∞</p><p>= 0.</p><p>&nbsp;</p><p>Ini artinya:</p><p>3/x ≤ [(2 sin 5x) + 5]/x ≤ 7/x</p><p>0 ≤ [(2 sin 5x) + 5]/x ≤ 0</p><p>&nbsp;</p><p>Sehingga:</p><p>lim(x--&gt;∞) (5 + 2 sin 5x)/x = 0.</p><p>&nbsp;</p><p>Jadi, nilai limit tersebut adalah 0.</p>