Aulia R

28 Januari 2023 07:28

Iklan

Iklan

Aulia R

28 Januari 2023 07:28

Pertanyaan

Tentukan nilai limit berikut jika ada! lim(x-->∞) (5 + 2 sin 5x)/x


4

1

Jawaban terverifikasi

Iklan

Iklan

Y. Frando

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Yogyakarta

13 Agustus 2023 06:23

Jawaban terverifikasi

<p>Jawaban yang benar adalah 0.</p><p>&nbsp;</p><p>Diketahui:</p><p>lim(x--&gt;∞) (5 + 2 sin 5x)/x.</p><p>&nbsp;</p><p>Ditanya:</p><p>Nilai limit = ...?</p><p>&nbsp;</p><p>Jawab:</p><p>Ingat konsep berikut:</p><p>(i) Teorema apit:</p><p>Jika g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) untuk semua x ∈ U(a, ε) dan lim (x --&gt; a) g(x) = lim (x --&gt; a) h(x) = A, maka lim (x --&gt; a) f(x) = A.</p><p>&nbsp;</p><p>(ii) lim(x-&gt;∞) a/x<sup>n</sup> = 0.</p><p>&nbsp;</p><p>(iii) Rentang nilai fungsi sinus adalah: -1 ≤ sin x ≤ 1.</p><p>&nbsp;</p><p>Sehingga dari teorema apit untuk pembilang diperoleh:</p><p>-1 ≤ sin 5x ≤ 1 ---&gt; kalikan 2 di setiap ruas</p><p>-2 ≤ 2 sin 5x ≤ 2 ---&gt; tambah 5 di setiap ruas</p><p>3 ≤ (2 sin 5x) + 5 ≤ 7</p><p>&nbsp;</p><p>Selanjutnya setiap ruas dikalikan dengan 1/x maka diperoleh:</p><p>3/x ≤ [(2 sin 5x) + 5]/x ≤ 7/x.</p><p>&nbsp;</p><p>Tinjau batas bawah:</p><p>lim(x--&gt;∞) [3/x]</p><p>= 3/∞</p><p>= 0.</p><p>&nbsp;</p><p>Tinjau batas atas:</p><p>lim(x--&gt;∞) [7/x]</p><p>= 7/∞</p><p>= 0.</p><p>&nbsp;</p><p>Ini artinya:</p><p>3/x ≤ [(2 sin 5x) + 5]/x ≤ 7/x</p><p>0 ≤ [(2 sin 5x) + 5]/x ≤ 0</p><p>&nbsp;</p><p>Sehingga:</p><p>lim(x--&gt;∞) (5 + 2 sin 5x)/x = 0.</p><p>&nbsp;</p><p>Jadi, nilai limit tersebut adalah 0.</p>

Jawaban yang benar adalah 0.

 

Diketahui:

lim(x-->∞) (5 + 2 sin 5x)/x.

 

Ditanya:

Nilai limit = ...?

 

Jawab:

Ingat konsep berikut:

(i) Teorema apit:

Jika g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) untuk semua x ∈ U(a, ε) dan lim (x --> a) g(x) = lim (x --> a) h(x) = A, maka lim (x --> a) f(x) = A.

 

(ii) lim(x->∞) a/xn = 0.

 

(iii) Rentang nilai fungsi sinus adalah: -1 ≤ sin x ≤ 1.

 

Sehingga dari teorema apit untuk pembilang diperoleh:

-1 ≤ sin 5x ≤ 1 ---> kalikan 2 di setiap ruas

-2 ≤ 2 sin 5x ≤ 2 ---> tambah 5 di setiap ruas

3 ≤ (2 sin 5x) + 5 ≤ 7

 

Selanjutnya setiap ruas dikalikan dengan 1/x maka diperoleh:

3/x ≤ [(2 sin 5x) + 5]/x ≤ 7/x.

 

Tinjau batas bawah:

lim(x-->∞) [3/x]

= 3/∞

= 0.

 

Tinjau batas atas:

lim(x-->∞) [7/x]

= 7/∞

= 0.

 

Ini artinya:

3/x ≤ [(2 sin 5x) + 5]/x ≤ 7/x

0 ≤ [(2 sin 5x) + 5]/x ≤ 0

 

Sehingga:

lim(x-->∞) (5 + 2 sin 5x)/x = 0.

 

Jadi, nilai limit tersebut adalah 0.


Iklan

Iklan

lock

Yah, akses pembahasan gratismu habis


atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Mau pemahaman lebih dalam untuk soal ini?

Tanya ke Forum

Biar Robosquad lain yang jawab soal kamu

Tanya ke Forum

LATIHAN SOAL GRATIS!

Drill Soal

Latihan soal sesuai topik yang kamu mau untuk persiapan ujian

Cobain Drill Soal

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

Pertanyaan serupa

Nyatakan dalam bentuk pangkat ! ²log8=3

58

0.0

Jawaban terverifikasi