Tentukan nilai lim(x↦0)(sin x - tan x)/(x²tan x)!

Jawaban yang benar adalah -1/2 Ingat identitas trigonometri : tan x = (sin x)/(cos x) cos 2x = 1 - 2 sin²x cos 2x - 1 = -2 sin²x Untuk mencari nilai suatu limit, dengan mensubstitusikan nilai x ke persamaan limitnya. Jika mendapatkan hasil 0/0 maka diperlukan manipulasi aljabar dengan memanfaatkan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri. Ingat limit trigonometri : lim_(x→0) (sin ax)/(x) = a Pembahasan : lim(x↦0)(sin x - tan x)/(x²tan x) = (sin 0 - tan 0)/(0² · tan 0) = (0-0)/0 = 0/0 Karena mendapatkan hasil 0/0 maka diperlukan manipulasi aljabar dengan memanfaatkan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri. lim(x↦0)(sin x - tan x)/(x²tan x) = lim(x↦0)(sin x - tan x)/(x²tan x) · (1/tanx)/(1/tanx) = lim(x↦0)(sin x - tan x)·(1/tan x)/[(x²tan x) · (1/tan x)] = lim(x↦0)((sin x)/(tan x) - (tan x)/(tan x))/(x²tan x/(tan x)) = lim(x↦0)(sin x/(tan x) - 1)/(x²) = lim(x↦0)(sin x/[(sin x)/(cos x)] - 1)/(x²) = lim(x↦0)(sin x · (cos x)/(sin x) - 1)/(x²) = lim(x↦0)(cos x - 1)/(x²) = lim(x↦0)(-2 sin²((1/2)x))/(x²) = lim(x↦0)(-2 · {(sin [(1/2)x])/(x)} · {(sin [(1/2)x])/(x)}) = -2 · (1/2) · (1/2) = -2/4 = -1/2 Jadi nilai dari lim(x↦0)(sin x - tan x)/(x²tan x) = -1/2