Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y²=x dan y=x−2.!

Jawaban : 9/2 Pembahasan : Konsep : Luas = (a, b) ∫ x1 − x2 dy dimana : a : batas bawah b : batas atas x1 terletak di sebelah kanan x2 ∫ ax^n = a/(n+1) x^(n+1) + c ax + by = c titik potong terhadap sumbu x, y = 0, didapat (x1, 0) titik potong terhadap sumbu y, x = 0, didapat (0, y2) x = ay² melewati (0, 0) jika a > 0 maka kurva menghadap ke kanan. jika a < 0 maka kurva menghadap ke kiri. y² = x dan y = x−2 y² = x maka x = y² ... (1) y = x−2 maka x = y + 2 ... (2) Mencari titik potong dari (1) dan (2) x = x y² = y + 2 y² − y − 2 = 0 (y + 1)(y − 2) = 0 untuk y + 1 = 0 maka y = −1 untuk y − 2 = 0 maka y = 2 x = y² maka a = 1 karena a > 0 maka kurva menghadap ke kanan. Titik potong dengan sumbu x, y = 0 x = 0² x = 0 >> (0, 0) karena melewati (0, 0) maka kurva mempunyai titik potong ke pangkal koordinat y = x−2 perpotongan dengan sumbu x, y = 0 x−2 = 0 x = 2 >> (2, 0) perpotongan dengan sumbu y, x = 0 y = 0−2 y = −2 >> (0, −2) sehingga y = x - 2 melewati (2, 0) dan (0, −2) Karena kedua kurva berpotongan di y = −1 dan y = 2 maka luas daerah menggunakan integral terhadap sumbu y. Karena x = y + 2 terletak di kanan x = y² maka x1 = y + 2 dan x2 = y² sehingga Luas = (−1, 2) ∫ x1 − x2 dy = (−1, 2) ∫ y + 2 − y² dy = (−1, 2) ∫ −y² + y + 2 dy = −1/3 y³ + 1/2 y² + 2y ] (−1, 2) = −1/3 ((2)³−(−1)³) + 1/2 ((2)²−(−1)²) + 2((2)−(−1)) = −1/3 (8+1) + 1/2 (4−1) + 2(2+1) = −1/3 (9) + 1/2 (3) + 2(3) = −3 + 3/2 + 6 = 3 + 3/2 = 6/2 + 3/2 = 9/2 Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y²=x dan y=x−2 adalah 9/2.