Tentukan koefisien dari : a. x⁵ dalam penjabaran (ekspansi) dari (1 + x + x²)⁸

Jawaban yang benar adalah 504 Konsep : Ingat teorema binomial : (a+b)ⁿ = ⁿC₀ aⁿ + ⁿC₁a⁽ⁿ⁻¹⁾b¹ + ⁿC₂a⁽ⁿ⁻²⁾b²+ ... + ⁿCₙ bⁿ Dimana : ⁿCₚ = n!/(n-p)!p! Dimana : n! = n(n-1)(n-2).... 3·2·1 Pembahasan: ⁸C₀ = 8!/((8-0)!0!) = 8!/8! = 1 ⁸C₁ = 8!/(8-1)!1! = 8·7!/(7!1!) = 8 ⁸C₂ = 8!/((8-2)!2!) = 8·7·6!/(6!·2·1) = 8·7/2 = 28 ⁸C₃ = 8!/((8-3)!3!) = 8·7·6·5!/(5!·3·2·1) = 8·7·6/6 = 56 ⁸C₄ = 8!/((8-4)!4!) = 8·7·6·5·4!/(4!·4·3·2·1) = 8·7·6·5/(4·3·2·1) = 2·7·5 = 70 ⁸C₅ = 8!/((8-5)!5!) = 8·7·6·5!/(3!5!) = 8·7·6/(3·2·1) = 56 ⁸C₆ = 8!/((8-6)!6!) = 8·7·6!/(2!·6!) = 8·7/2 = 28 ⁸C₇ = 8!/((8-7)!7!) = 8·7!/(1!7!) = 8 ⁸C₈ = 8!/((8-8)!8!) = 1 (1 + x + x²)⁸ = ((1+x) + x²)⁸ = (1+x)⁸ + 8·(1+x)⁷·x² + 28·(1+x)⁶·(x²)² + 56·(1+x)⁵·(x²)³ + 70·(1+x)⁴·(x²)⁴ + 56·(1+x)³·(x²)⁵ + 28·(1+x)²·(x²)⁶ + 8·(1+x)·(x²)⁷ + (x²)⁸ = (1+x)⁸ + 8·(1+x)⁷·x² + 28·(1+x)⁶·x⁴ + 56·(1+x)⁵·x⁶ + 70·(1+x)⁴·x⁸ + 56·(1+x)³·x¹⁰ + 28·(1+x)²·x¹² + 8·(1+x)·x¹⁴ + x¹⁶ Variabel x⁵ tidak akan ditemukan pada : 56·(1+x)⁵·x⁶ + 70·(1+x)⁴·x⁸ + 56·(1+x)³·x¹⁰ + 28·(1+x)²·x¹² + 8·(1+x)·x¹⁴ + x¹⁶ Maka penjabaran tersisa : (1+x)⁸ + 8·(1+x)⁷·x² + 28·(1+x)⁶·x⁴ Koefisien x⁵ pada (1+x)⁸ yaitu 56 Koefisien x⁵ pada 8·(1+x)⁷·x² yaitu : 8 · ⁷C₄ = 8 · 7!/((7-4)!4!) = 8 · 7·6·5·4!/(3!4!) = 8 · 7·6·5/(3·2·1) = 8 · 35 = 280 Koefisien x⁵ pada 28·(1+x)⁶·x⁴ yaitu : 28 · ⁶C₅ = 28 · 6!/((6-5)!5!) = 28 · 6·5!/(1!5!) = 28 · 6 = 168 Koefisien x⁵ pada penjabaran diatas yaitu : 56 + 280 + 168 = 504 Jadi koefisien x⁵ pada penjabaran (ekspansi) dari (1 + x + x²)⁸ adalah 504