Tentukan interval dimana f(x)=sin(2x-4)naik dan turun pada interval 0<=x<=2pi

Haloo Darwin, kakak bantu jawab yaa Jawaban: fungsi naik = {x| 0 ≤ x ≤ 3π/8, 7π/8 ≤ x ≤ 11π/8, 15π/8 ≤ x ≤ 2π, x∈ℝ}. Fungsi turun = {x| 3π/8 ≤ x ≤ 7π/8, 11π/8 ≤ x ≤ 15π/8, x∈ℝ} Diasumsikan soal adalah f(x)=sin(2x - π/4) Interval naik dan turun dicari dengan turunan pertama fungsi. Interval monoton naik yaitu saat f'(x)>0, dan saat f'(x)<0 fungsi monoton turun. Turunan trigonometri f(x) = sin u ==> f'(x) = cos u. u' Persamaan trigonometri cosx= cos∝ x = ±∝+k.2π Interval naik f'(x)>0 cos(2x - π/4) . (2x - π/4)' > 0 2cos(2x - π/4) > 0 cos(2x - π/4) > 0 Pembuat nol fungsi cos (2x - π/4) = cos π/2 (i) 2x - π/4 = π/2 + k.2π Jika k=0, 2x - π/4 = π/2 + 0.2π 2x = π/2 + π/4 2x = 2.π/2.2 + π/4 x = 3π/8 Jika k=1, 2x - π/4 = π/2 + 1.2π x - π/8 = π/4 + π x = 2.π/2.4 + 8.π/8 + π/8 x = (2π+8π+π)/8 x = 11π/8 Jika k=2, tidak memenuhi karena melebihi interval (ii) 2x - π/4 = -π/2 + k.2π Jika k=0, 2x - π/4 = -π/2 + 0.2π 2x = -π/2 + π/4 2x = -2.π/2.2 + π/4 x = -π/8 tidak memenuhi karena di luar interval Jika k=1, 2x - π/4 = -π/2 + 1.2π x - π/8 = -π/4 + π x = -2.π/2.4 + 8.π/8 + π/8 x = (-2π+8π+π)/8 x = 7π/8 2x = 3π/2 + π/4 2x = 3.2.π/2.2 + π/4 x = 7π/8 Jika k=2, 2x - π/4 = -π/2 + 2.2π x - π/8 = -π/4 + 2π x = -2.π/2.4 + 2.8.π/8 + π/8 x = (-2π+16π+π)/8 x = 15π/8 Maka didapat daerah dengan titik-titik stasioner yaitu diantara 0 dan 3π/8, diantara 3π/8 dan 7π/8, diantara 7π/8 dan 11π/8, diantara 11π/8 dan 15π/8, dan diantara 15π/8 dan 2π. Uji titik Pada daerah diantara 0 dan 3π/8, menguji apakah pada interval tersebut fungsi naik atau turun dengan uji titik. Misal diantara 0 dan 3π/8 terdapat bilangan π/6 2cos(2x - π/4) = 0 2cos(2.π/6 - π/4) = 0 cos(2.π.2/2.6 - 3.π/3.4) = 0 cos π/12 = 0 hasilnya positif f'(x) > 0, maka interval 0≤x≤3π/8 fungsi naik Pada daerah diantara 3π/8 dan 7π/8,misal diantara 3π/8 dan 7π/8 terdapat bilangan π/2 2cos(2x - π/4) = 0 2cos(2.π/2 - π/4) = 0 cos(4.π/4 - π/4) = 0 cos 3π/4 = 0 cos (π - π/4) = 0 -cos(π/4) = 0 hasilnya negatif f'(x) < 0, maka interval 3π/8≤x≤7π/8 fungsi turun Pada daerah diantara 7π/8 dan 11π/8, misal diantara 7π/8 dan 11π/8 terdapat bilangan π 2cos(2x - π/4) = 0 2cos(2.π - π/4) = 0 cos(2π.4/4 - π/4) = 0 cos 7π/4 = 0 cos (2π - π/4) = 0 cos(π/4) = 0 hasilnya positif f'(x) > 0, maka interval 7π/8≤x≤11π/8 fungsi naik Pada daerah diantara 11π/8 dan 15π/8, misal terdapat bilangan 12π/8 2cos(2x - π/4) = 0 2cos(2.12π/8 - π/4) = 0 cos(12π/4 - π/4) = 0 cos 11π/4 = 0 cos (3.π - π/4) = 0 -cos(π/4) = 0 hasilnya negatif f'(x) < 0, maka interval 11π/8≤x≤15π/8 fungsi turun Pada daerah diantara 15π/8 dan 2π, misal terdapat bilangan 31π/16 2cos(2x - π/4) = 0 2cos(2.31π/16 - π/4) = 0 cos(31π/8 - 2π/2.4) = 0 cos 29π/8 = 0 cos (4π - 3π/8) = 0 cos(3π/8) = 0 hasilnya positif f'(x) > 0, maka interval 15π/8≤x≤2π fungsi naik Jadi, fungsi naik pada interval {x| 0 ≤ x ≤ 3π/8, 7π/8 ≤ x ≤ 11π/8, 15π/8 ≤ x ≤ 2π, x∈ℝ}. Fungsi turun pada interval {x| 3π/8 ≤ x ≤ 7π/8, 11π/8 ≤ x ≤ 15π/8, x∈ℝ}.