Tentukan dy/dx dari fungsi limit: 2x²y -sin xy²+ e-ˣʸ=10

Jawaban yang benar adalah (-4xy + y² cos xy² + y · e⁻ˣʸ)/[2x² + (2xy)(cos xy²) – x · e⁻ˣʸ]. Pembahasan: Jika f(x) = axⁿ → f’(x) = n · axⁿ⁻¹ Jika f(x) = u(x) · v(x) → f’(x) = u’(x) v(x) + u(x) v’(x) Jika f(x) = eⁿˣ = n · eⁿˣ Jika f(x) = sin [g(x)] → f’(x) = g’(x) cos [g(x)] dy/dx = f’(x) Fungsi implisit adalah fungsi yang memuat lebih dari satu variabel, berjenis variabel bebas dan variabel terikat yang berada dalam satu ruas, sedemikian sehingga tidak bisa dipisahkan pada ruas yang berbeda. Maka, 2x²y – sin xy² + e⁻ˣʸ = 10 (pindahkan 10 ke sisi kiri) 2x²y – sin xy² + e⁻ˣʸ – 10 = 0 Fungsi di atas adalah fungsi implisit. Untuk mencari turunan fungsi implisit, langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut: (dy/dx) (2x²y) – (dy/dx)(sin xy²) + (dy/dx)(e⁻ˣʸ) – (dy/dx) 10 = 0 Kemudian cari satu demi satu (dy/dx) (2x²y) ; ingat bentuk f(x) = u(x) · v(x): u = 2x² → u’ = 4x v = y → v’ = dy/dx maka, (dy/dx) (2x²y) = u’v + uv’ (dy/dx) (2x²y) = 4xy + 2x² · (dy/dx) (dy/dx) (2x²y) = 4xy + (2x²)(dy/dx) (dy/dx)(sin xy²) ; ingat bentuk f(x) = sin [g(x)] Maka cari dahulu g’(x) g(x) = xy² u = x → u’ = 1 v = y² → v’ = (2y)(dy/dx) maka g’(x) = u’v + uv’ g’(x) = 1(y²) + x · (2y)(dy/dx) g’(x) = y² + (2xy)(dy/dx) Sehingga, (dy/dx)(sin xy²) = [y² + (2xy)(dy/dx)] cos xy² (dy/dx)(sin xy²) = y² cos xy² + (2xy)(dy/dx)(cos xy²) Kemudian, (dy/dx)(e⁻ˣʸ) Maka cari dahulu g’(x) g(x) = -xy u = -x → u’ = -1 v = y → v’ = (dy/dx) maka g’(x) = u’v + uv’ g’(x) = -1(y) – x · (dy/dx) g’(x) = -y – x(dy/dx) Sehingga, (dy/dx)(e⁻ˣʸ) = [-y – x(dy/dx)](e⁻ˣʸ) (dy/dx)(e⁻ˣʸ) = -y · e⁻ˣʸ – x(dy/dx)(e⁻ˣʸ) Selanjutnya gabung semua, menjadi: (dy/dx) (2x²y) – (dy/dx)(sin xy²) + (dy/dx)(e⁻ˣʸ) – (dy/dx) 10 = 0 4xy + (2x²)(dy/dx) – [y² cos xy² + (2xy)(dy/dx)(cos xy²)] + [-y · e⁻ˣʸ – x(dy/dx)(e⁻ˣʸ)] – 0 = 0 Kemudian disatukan yang ada variabel (dy/dx): 4xy – y² cos xy² – y · e⁻ˣʸ + (2x²)(dy/dx) + [(2xy)(dy/dx)(cos xy²)] –[x(dy/dx)(e⁻ˣʸ)] = 0 (4xy – y² cos xy² – y · e⁻ˣʸ) + [2x² + (2xy)(cos xy²) – x · e⁻ˣʸ](dy/dx) = 0 [2x² + (2xy)(cos xy²) – x · e⁻ˣʸ](dy/dx) = -(4xy – y² cos xy² – y · e⁻ˣʸ) [2x² + (2xy)(cos xy²) – x · e⁻ˣʸ](dy/dx) = (-4xy + y² cos xy² + y · e⁻ˣʸ) dy/dx = (-4xy + y² cos xy² + y · e⁻ˣʸ)/[2x² + (2xy)(cos xy²) – x · e⁻ˣʸ] Jadi, dy/dx = (-4xy + y² cos xy² + y · e⁻ˣʸ)/[2x² + (2xy)(cos xy²) – x · e⁻ˣʸ].