Sudut θ di kuadran pertama yang memenuhi persamaan 1 + sin 2θ = 2 cos² 2θ adalah .... A. {15°; 30°; 60°} D. {22,5°; 30°} B. {15°; 45°; 75°} E. {30°; 60°} C. {15°; 75°}

Jawaban yang benar adalah C. {15°, 75°} Ingat kembali: 1. Persamaan trigonometri sederhana untuk sinus: sin x = sin θ x1 = θ + k·360° x2 = (180° - θ) + k·360° dengan k = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... 2. Kuadran I ➡️ 0° ≤ θ ≤ 90° 3. Kuadran I ➡️ sin θ bernilai positif 4. sin² θ + cos² θ = 1 ➡️ cos² θ = 1 - sin² θ 5. sin (-θ) = -sin θ 6. sin 30° = ½ 7. a(b ± c) = ab ± ac 8. Persamaan kuadrat: ax² + bx + c = 0 (1/a)(ax + p)(ax + q) = 0 p + q = ac pq = b Pembahasan: 1 + sin 2θ = 2 cos² 2θ, kuadran I 1 + sin 2θ = 2(1 - sin² 2θ) 1 + sin 2θ = 2 - 2 sin² 2θ 1 + sin 2θ - 2 + 2 sin² 2θ = 0 2 sin² 2θ + sin 2θ - 1 = 0 Misal: A = sin 2θ Maka: 2A² + A - 1 = 0 ½(2A + 2)(2A - 1) = 0 (½·2A + ½·2)(2A - 1) = 0 (A + 1)(2A - 1) = 0 A + 1 = 0 A = 0 - 1 A = -1 atau 2A - 1 = 0 2A = 0 + 1 2A = 1 A = ½ Untuk A = -1 sin 2θ = -1 ➡️ tidak memenuhi (pada soal diketahui bahwa sudut θ berada di kuadran I sehingga nilai sin yang memenuhi adalah yang bernilai positif) Untuk A = ½ sin 2θ = sin 30° 2θ1 = 30° + k·360° ➡️ kedua ruas dibagi 2 sehingga diperoleh: θ1 = 15° + k·180° Untuk k = 0 θ1 = 15° + 0·180° θ1 = 15° + 0 θ1 = 15° (memenuhi interval) Untuk k = 1 θ1 = 15° + 1·180° θ1 = 15° + 180° θ1 = 195° (tidak memenuhi interval) 2θ2 = {180° - 30°} + k·360° 2θ2 = 150° + k·360° ➡️ kedua ruas dibagi 2 sehingga diperoleh: θ2 = 75° + k·180° Untuk k = 0 θ2 = 75° + 0·180° θ2 = 75° + 0 θ2 = 75° (memenuhi interval) Untuk k = 1 θ2 = 75° + 1·180° θ2 = 75° + 180° θ2 = 255° (tidak memenuhi interval) Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri di atas adalah {15°, 75°} Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C