Suatu kolam renang berbentuk gabungan persegi panjang dan setengah lingkaran (seperti pada gambar) mempunyai keliling sebesar a satuan panjang. Agar luas kolam renang menjadi maksimum, tentukanlah ukuran kolam renang (panjang kolam, lebar kolam dan jari-jari) tersebut! (tetap dalam bentuk π saja)

Jawaban yang benar adalah panjang kolam = (1/4)a - (1/8)aπ, lebar kolam = (1/2)a dan jari-jari = (1/4)a Ingat aturan turunan berikut ini: f(x) = ax^n → f'(x) = n·a·x^(n-1) f(x) = kx → f'(x) = k f(x) = c → f'(x) = 0 Ingat rumus berikut : Keliling lingkaran = 2πr Luas lingkaran = πr² π : tetapan yang nilainya 22/7 atau 3,14 r : jari-jari lingkaran Luas persegi panjang = p · l Keliling persegi panjang = 2 (p + l) p : panjang l : lebar Pembahasan : Pada gambar kolam di atas diketahui : panjang kolam = y Lebar kolam = x jari-jari (r) = x/2 Keliling kolam = a x + 2y + (1/2)·2πr = a x + 2y + (1/2)·2π·x/2 = a x + 2y + (1/2)πx = a 2y = a - x - (1/2)πx (dikali (1/2)) y = (1/2)a - (1/2)x - (1/4)πx ... Persamaan 1 Luas kolam = xy + πr² = xy + π(x/2)² = xy + π·x²/4 = xy + (1/4)πx² ... Persamaan 2 Substitusi persamaan 1 ke persamaan 2 : L = xy + (1/4)πx² L = x((1/2)a - (1/2)x - (1/4)πx) + (1/4)πx² = (1/2)ax - (1/2)x² - (1/4)πx² + (1/4)πx² = (1/2)ax - (1/2)x² Turunan fungsi L : L' = (1/2)a - 2·(1/2)x = (1/2)a - x Agar luas maksimum maka : L' = 0 (1/2)a - x = 0 (1/2)a = x Substitusi x = (1/2)a ke persamaan 1 : y = (1/2)a - (1/2)x - (1/4)πx = (1/2)a - (1/2)·(1/2)a - (1/4)π·(1/2)a = (2/4)a - (1/4)a - (1/8)aπ = (1/4)a - (1/8)aπ r = x/2 = (1/2)x = (1/2) · (1/2) a = (1/4)a Jadi diperoleh ukuran : panjang kolam = (1/4)a - (1/8)aπ, lebar kolam = (1/2)a dan jari-jari = (1/4)a