Suatu area R dibatasi oleh kurva v=2-x^{2} dan sumbu x a. Tentukan volume benda putar yang diperoleh dari memutar R terhadap sumbu y! b. Tentukan pusat massa (centroid) dari R !

a. Untuk menentukan volume benda putar yang diperoleh dari memutar R terhadap sumbu y, kita dapat menggunakan metode diskus. Pertama, kita perlu menentukan batas atas dan batas bawah dari integral yang akan digunakan. Kurva $v=2-x^2$ memotong sumbu x pada saat $v=0$, sehingga kita perlu mencari titik-titik potong tersebut. Dengan mengatur $v=0$, kita dapat menyelesaikan persamaan sebagai berikut: $0 = 2 - x^2$ $x^2 = 2$ $x = \pm \sqrt{2}$ Jadi, titik potong adalah $(-\sqrt{2}, 0)$ dan $(\sqrt{2}, 0)$. Selanjutnya, kita perlu menentukan batas atas dan batas bawah dari integral. Karena kita memutar R terhadap sumbu y, batas atas adalah $x = \sqrt{2}$ dan batas bawah adalah $x = -\sqrt{2}$. Volume benda putar dapat dihitung menggunakan rumus integral berikut: $V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 dx$ Di sini, $f(x)$ adalah fungsi yang menggambarkan kurva $v=2-x^2$, dan $a$ dan $b$ adalah batas atas dan batas bawah. Menggantikan nilai-nilai yang telah kita temukan, kita dapat menghitung volume benda putar sebagai berikut: $V = \pi \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (2-x^2)^2 dx$ Anda dapat menyelesaikan integral ini untuk mendapatkan volume benda putar. b. Untuk menentukan pusat massa (centroid) dari R, kita perlu menggunakan rumus berikut: $x_{\text{centroid}} = \frac{\int_{a}^{b} x \cdot f(x) dx}{\int_{a}^{b} f(x) dx}$ $y_{\text{centroid}} = \frac{\int_{a}^{b} \frac{1}{2} \cdot (f(x))^2 dx}{\int_{a}^{b} f(x) dx}$ Di sini, $f(x)$ adalah fungsi yang menggambarkan kurva $v=2-x^2$, dan $a$ dan $b$ adalah batas atas dan batas bawah. Anda dapat menggantikan nilai-nilai yang telah kita temukan dan menyelesaikan integral ini untuk mendapatkan pusat massa (centroid) dari R.