Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² - 4x - 6y - 5 = 0 dengan gradien -7 adalah

<p>Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu menggunakan dua konsep: persamaan garis singgung dan gradien.</p><p>Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r adalah:</p><p>(x - a)² + (y - b)² = r²</p><p>Dalam kasus ini, lingkaran memiliki persamaan:</p><p>x² + y² - 4x - 6y - 5 = 0</p><p>Kita dapat melengkapi kuadrat pada variabel x dan y dengan cara mengurangi konstanta -5 pada kedua sisi persamaan:</p><p>x² - 4x + y² - 6y = 5</p><p>Kita dapat menyelesaikan persamaan ini dengan melengkapi kuadrat pada variabel x dan y. Untuk melengkapi kuadrat pada x, kita perlu menambahkan (4/2)² = 4 pada kedua sisi persamaan. Untuk melengkapi kuadrat pada y, kita perlu menambahkan (6/2)² = 9 pada kedua sisi persamaan:</p><p>x² - 4x + 4 + y² - 6y + 9 = 5 + 4 + 9</p><p>(x - 2)² + (y - 3)² = 18</p><p>Dengan demikian, lingkaran memiliki pusat (2,3) dan jari-jari √18.</p><p>Gradien garis singgung pada titik (x₁,y₁) pada lingkaran dengan persamaan di atas adalah -x₁/y₁.</p><p>Dalam kasus ini, kita ingin mencari persamaan garis singgung dengan gradien -7. Oleh karena itu, kita perlu menyelesaikan sistem persamaan:</p><p>(x - 2)² + (y - 3)² = 18<br>-y/x = -7</p><p>Dari persamaan kedua, kita dapat mengubahnya menjadi y = 7x dan menggantinya ke dalam persamaan pertama:</p><p>(x - 2)² + (7x - 3)² = 18</p><p>Setelah menghitung dan menyederhanakan, kita akan mendapatkan dua solusi untuk x:</p><p>x = 1/10 atau x = 61/170</p><p>Untuk setiap nilai x, kita dapat menghitung nilai y yang sesuai dengan persamaan y = 7x. Oleh karena itu, kita dapat menemukan dua titik potensial untuk garis singgung: (1/10, 7/10) dan (61/170, 427/170).</p><p>Untuk menentukan titik mana yang benar-benar merupakan titik singgung, kita perlu memeriksa apakah titik-titik ini benar-benar berada pada lingkaran. Jika ya, maka titik tersebut adalah titik singgung. Jika tidak, maka tidak ada garis singgung yang memenuhi syarat.</p><p>Dengan mengganti nilai x dan y pada persamaan lingkaran, kita dapat memeriksa apakah kedua titik potensial tersebut benar-benar berada pada lingkaran. Setelah melakukan perhitungan, kita mendapatkan bahwa hanya titik (1/10, 7/10) yang berada pada lingkaran. Oleh karena itu, titik ini adalah titik singgung.</p><p>Untuk menentukan persamaan garis singgung pada titik ini, kita dapat menggunakan persamaan garis dengan gradien -7 dan titik (1/10, 7/10):</p><p>y - 7/10 = -7(x - 1/10)</p><p>Setelah menyederhanakan, kita akan mendapatkan persamaan garis singgung:</p><p>y = -7x + 57/10</p>