Ns N

31 Juli 2024 06:31

Iklan

Ns N

31 Juli 2024 06:31

Pertanyaan

Perbandingan antara perkalian vektor dan perkalian silang dua buah vektor adalah √2. Tentukan sudut pisah kedua vektor tersebut.

Perbandingan antara perkalian vektor dan perkalian silang dua buah vektor adalah √2. Tentukan sudut pisah kedua vektor tersebut.

Belajar bareng Champions

Brain Academy Champions

Hanya di Brain Academy

Habis dalam

00

:

05

:

02

:

34

Klaim

4

1


Iklan

Nanda R

Community

31 Juli 2024 21:09

<p>Untuk menentukan sudut antara dua vektor yang memiliki perbandingan antara perkalian dot (titik) dan perkalian silang (cross) sebesar \(\sqrt{2}\), kita perlu menggunakan definisi dari kedua jenis perkalian vektor dan sifat-sifat trigonometri.</p><p>### Perkalian Dot dan Perkalian Silang</p><p>1. **Perkalian Dot (Titik)**<br>&nbsp; Perkalian dot antara dua vektor \(\mathbf{A}\) dan \(\mathbf{B}\) adalah:<br>&nbsp; \[<br>&nbsp; \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos \theta<br>&nbsp; \]<br>&nbsp; di mana \(\theta\) adalah sudut antara kedua vektor.</p><p>2. **Perkalian Silang (Cross)**<br>&nbsp; Perkalian silang antara dua vektor \(\mathbf{A}\) dan \(\mathbf{B}\) adalah:<br>&nbsp; \[<br>&nbsp; |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \sin \theta<br>&nbsp; \]</p><p>### Perbandingan Kedua Perkalian</p><p>Diketahui bahwa perbandingan antara nilai perkalian dot dan perkalian silang adalah \(\sqrt{2}\), sehingga:<br>\[<br>\frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|} = \sqrt{2}<br>\]</p><p>Substitusikan definisi dari perkalian dot dan silang:<br>\[<br>\frac{|\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos \theta}{|\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \sin \theta} = \sqrt{2}<br>\]</p><p>Sederhanakan persamaan dengan membatalkan \(|\mathbf{A}| |\mathbf{B}|\):<br>\[<br>\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \sqrt{2}<br>\]</p><p>Kita tahu bahwa:<br>\[<br>\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \cot \theta<br>\]</p><p>Jadi, persamaan menjadi:<br>\[<br>\cot \theta = \sqrt{2}<br>\]</p><p>Dari sini, kita perlu mencari \(\theta\) yang memenuhi \(\cot \theta = \sqrt{2}\).</p><p>### Menentukan Sudut \(\theta\)</p><p>Kita gunakan identitas trigonometri \(\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}\), sehingga:<br>\[<br>\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}<br>\]</p><p>Mencari sudut yang memenuhi persamaan ini, kita ingat bahwa:<br>\[<br>\tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 \quad \text{dan} \quad \tan \left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3}<br>\]</p><p>Sudut yang \(\tan\)-nya \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) adalah \(\theta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\).</p><p>Namun, kita cari nilai \(\theta\) yang lebih umum, kita gunakan inverse tangent:<br>\[<br>\theta = \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)<br>\]</p><p>Dari tabel trigonometri atau kalkulator, kita temukan bahwa:<br>\[<br>\theta \approx 35.26^\circ<br>\]</p><p>Jadi, sudut antara kedua vektor tersebut adalah:<br>\[<br>\theta \approx 35.26^\circ<br>\]</p><p>atau secara lebih presisi:<br>\[<br>\theta = \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)<br>\]</p><p>Ini memberikan sudut yang diinginkan.</p>

Untuk menentukan sudut antara dua vektor yang memiliki perbandingan antara perkalian dot (titik) dan perkalian silang (cross) sebesar \(\sqrt{2}\), kita perlu menggunakan definisi dari kedua jenis perkalian vektor dan sifat-sifat trigonometri.

### Perkalian Dot dan Perkalian Silang

1. **Perkalian Dot (Titik)**
  Perkalian dot antara dua vektor \(\mathbf{A}\) dan \(\mathbf{B}\) adalah:
  \[
  \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos \theta
  \]
  di mana \(\theta\) adalah sudut antara kedua vektor.

2. **Perkalian Silang (Cross)**
  Perkalian silang antara dua vektor \(\mathbf{A}\) dan \(\mathbf{B}\) adalah:
  \[
  |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \sin \theta
  \]

### Perbandingan Kedua Perkalian

Diketahui bahwa perbandingan antara nilai perkalian dot dan perkalian silang adalah \(\sqrt{2}\), sehingga:
\[
\frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|} = \sqrt{2}
\]

Substitusikan definisi dari perkalian dot dan silang:
\[
\frac{|\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos \theta}{|\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \sin \theta} = \sqrt{2}
\]

Sederhanakan persamaan dengan membatalkan \(|\mathbf{A}| |\mathbf{B}|\):
\[
\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \sqrt{2}
\]

Kita tahu bahwa:
\[
\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \cot \theta
\]

Jadi, persamaan menjadi:
\[
\cot \theta = \sqrt{2}
\]

Dari sini, kita perlu mencari \(\theta\) yang memenuhi \(\cot \theta = \sqrt{2}\).

### Menentukan Sudut \(\theta\)

Kita gunakan identitas trigonometri \(\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}\), sehingga:
\[
\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]

Mencari sudut yang memenuhi persamaan ini, kita ingat bahwa:
\[
\tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 \quad \text{dan} \quad \tan \left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3}
\]

Sudut yang \(\tan\)-nya \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) adalah \(\theta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\).

Namun, kita cari nilai \(\theta\) yang lebih umum, kita gunakan inverse tangent:
\[
\theta = \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)
\]

Dari tabel trigonometri atau kalkulator, kita temukan bahwa:
\[
\theta \approx 35.26^\circ
\]

Jadi, sudut antara kedua vektor tersebut adalah:
\[
\theta \approx 35.26^\circ
\]

atau secara lebih presisi:
\[
\theta = \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)
\]

Ini memberikan sudut yang diinginkan.


Iklan

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

Mau jawaban yang terverifikasi?

Tanya ke Forum

Biar Robosquad lain yang jawab soal kamu

Tanya ke Forum

LATIHAN SOAL GRATIS!

Drill Soal

Latihan soal sesuai topik yang kamu mau untuk persiapan ujian

Cobain Drill Soal

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

Iklan