Perbandingan antara perkalian vektor dan perkalian silang dua buah vektor adalah √2. Tentukan sudut pisah kedua vektor tersebut.

Belajar bareng Champions

Brain Academy Champions

Hanya di Brain Academy

Habis dalam

Klaim

Nanda R

Community

31 Juli 2024 21:09

Untuk menentukan sudut antara dua vektor yang memiliki perbandingan antara perkalian dot (titik) dan perkalian silang (cross) sebesar \(\sqrt{2}\), kita perlu menggunakan definisi dari kedua jenis perkalian vektor dan sifat-sifat trigonometri.### Perkalian Dot dan Perkalian Silang1. Perkalian Dot (Titik)   Perkalian dot antara dua vektor \(\mathbf{A}\) dan \(\mathbf{B}\) adalah:   \[   \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos \theta   \]   di mana \(\theta\) adalah sudut antara kedua vektor.2. Perkalian Silang (Cross)   Perkalian silang antara dua vektor \(\mathbf{A}\) dan \(\mathbf{B}\) adalah:   \[   |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \sin \theta   \]### Perbandingan Kedua PerkalianDiketahui bahwa perbandingan antara nilai perkalian dot dan perkalian silang adalah \(\sqrt{2}\), sehingga: \[ \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|} = \sqrt{2} \]Substitusikan definisi dari perkalian dot dan silang: \[ \frac{|\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos \theta}{|\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \sin \theta} = \sqrt{2} \]Sederhanakan persamaan dengan membatalkan \(|\mathbf{A}| |\mathbf{B}|\): \[ \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \sqrt{2} \]Kita tahu bahwa: \[ \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \cot \theta \]Jadi, persamaan menjadi: \[ \cot \theta = \sqrt{2} \]Dari sini, kita perlu mencari \(\theta\) yang memenuhi \(\cot \theta = \sqrt{2}\).### Menentukan Sudut \(\theta\)Kita gunakan identitas trigonometri \(\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}\), sehingga: \[ \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \]Mencari sudut yang memenuhi persamaan ini, kita ingat bahwa: \[ \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 \quad \text{dan} \quad \tan \left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3} \]Sudut yang \(\tan\)-nya \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) adalah \(\theta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\).Namun, kita cari nilai \(\theta\) yang lebih umum, kita gunakan inverse tangent: \[ \theta = \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \]Dari tabel trigonometri atau kalkulator, kita temukan bahwa: \[ \theta \approx 35.26^\circ \]Jadi, sudut antara kedua vektor tersebut adalah: \[ \theta \approx 35.26^\circ \]atau secara lebih presisi: \[ \theta = \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \]Ini memberikan sudut yang diinginkan.

Untuk menentukan sudut antara dua vektor yang memiliki perbandingan antara perkalian dot (titik) dan perkalian silang (cross) sebesar \(\sqrt{2}\), kita perlu menggunakan definisi dari kedua jenis perkalian vektor dan sifat-sifat trigonometri.

### Perkalian Dot dan Perkalian Silang

1. **Perkalian Dot (Titik)**
Perkalian dot antara dua vektor \(\mathbf{A}\) dan \(\mathbf{B}\) adalah:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos \theta
\]
di mana \(\theta\) adalah sudut antara kedua vektor.

2. **Perkalian Silang (Cross)**
Perkalian silang antara dua vektor \(\mathbf{A}\) dan \(\mathbf{B}\) adalah:
\[
|\mathbf{A} \times \mathbf{B}| = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \sin \theta
\]

### Perbandingan Kedua Perkalian

Diketahui bahwa perbandingan antara nilai perkalian dot dan perkalian silang adalah \(\sqrt{2}\), sehingga:
\[
\frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|} = \sqrt{2}
\]

Substitusikan definisi dari perkalian dot dan silang:
\[
\frac{|\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos \theta}{|\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \sin \theta} = \sqrt{2}
\]

Sederhanakan persamaan dengan membatalkan \(|\mathbf{A}| |\mathbf{B}|\):
\[
\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \sqrt{2}
\]

Kita tahu bahwa:
\[
\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \cot \theta
\]

Jadi, persamaan menjadi:
\[
\cot \theta = \sqrt{2}
\]

Dari sini, kita perlu mencari \(\theta\) yang memenuhi \(\cot \theta = \sqrt{2}\).

### Menentukan Sudut \(\theta\)

Kita gunakan identitas trigonometri \(\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}\), sehingga:
\[
\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]

Mencari sudut yang memenuhi persamaan ini, kita ingat bahwa:
\[
\tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 \quad \text{dan} \quad \tan \left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3}
\]

Sudut yang \(\tan\)-nya \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) adalah \(\theta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\).

Namun, kita cari nilai \(\theta\) yang lebih umum, kita gunakan inverse tangent:
\[
\theta = \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)
\]

Dari tabel trigonometri atau kalkulator, kita temukan bahwa:
\[
\theta \approx 35.26^\circ
\]

Jadi, sudut antara kedua vektor tersebut adalah:
\[
\theta \approx 35.26^\circ
\]

atau secara lebih presisi:
\[
\theta = \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)
\]

Ini memberikan sudut yang diinginkan.

· 0.0 (0)