Nilai lim_(x→π/4) (cosx−sin2xcosx)/(cos^(2)2x) adalah ....

Jawaban yang benar adalah (1/4)√2 Identitas trigonometri : sin²a + cos²a = 1 cos²a = 1 - sin²a Untuk mencari nilai suatu limit, dengan mensubstitusikan nilai x ke persamaan limitnya. Jika mendapatkan hasil 0/0 maka diperlukan manipulasi aljabar salah satunya dengan pemfaktoran. a² - b² = (a + b) (a - b) Pembahasan : lim_(x→π/4) (cosx−sin2xcosx)/(cos²2x) = (cos π/4 - sin (2(π/4)) cos π/4))/(cos²(2(π/4))) = (cos π/4 - sin (2π/4) cos π/4))/(cos²(2π/4)) = (cos π/4 - sin (π/2) cos π/4))/(cos²(π/2)) = ((1/2)√2 - 1 · (1/2)√2)/((0)²) = ((1/2)√2 - (1/2)√2)/0 = 0/0 Karena menghasilkan 0/0 maka perlu manipulasi aljabar dengan memanfaatkan identitas trigonometri dan pemfaktoran : lim_(x→π/4) (cosx−sin2xcosx)/(cos²2x) = lim_(x→π/4) (cosx−sin2xcosx)/(1 - sin²2x) = lim_(x→π/4) (cosx(1 − sin2x))/(1 - sin 2x)(1 + sin 2x) = lim_(x→π/4) (cos x)/(1 + sin 2x) = (cos π/4)/(1 + sin (2(π/4)) = (1/2)√(2)/(1 + sin (2π/4)) = (1/2)√(2)/(1 + sin (π/2)) = (1/2)√(2)/(1 + 1) = (1/2)√(2)/(2) = (1/2)√(2) · 1/2 = (1/4)√2 Jadi nilai dari lim_(x→π/4) (cosx−sin2xcosx)/(cos²2x) = (1/4)√2