Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x² - (2k² - k - 1)x + (3k+4) = 0 dan kedua akar itu bilangan bulat dengan k konstan. Jika x1,k,x2 merupakan 3 suku pertama barisan geometri, maka jumlah n suku pertama dari barisan tersebut adalah .... A) -1/2 (-1)ⁿ + 1/2 B) -1/2 (-1)ⁿ - 1/2 C) 1/2 (-1)ⁿ + 1/2 D) -(-1)ⁿ E) 1/2 (-1)ⁿ - 1/2

Question

Jawaban yang benar adalah A. -1/2 (-1)ⁿ + 1/2.

Diketahui:

x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x² - (2k² - k - 1)x + (3k+4) = 0

Kedua akar itu bilangan bulat dengan k konstan.

x1, k, x2 merupakan 3 suku pertama barisan geometri

Ditanya:

Jumlah n suku pertama dari barisan tersebut = ...?

Jawab:

Konsep yang kita gunakan adalah penyelesaian persamaan kuadrat. Akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dirumuskan oleh:

x_{1, 2} = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a.

Jumlah akar: x1 + x2 = -b/a

Hasil kali akar: x1 . x2 = c/a

Ingat pula barisan geometri yaitu barisan bilangan dimana dua suku yang berurutan memiliki perbandingan yang sama. Perbandingan pada barisan geometri disebut sebagai rasio (r) yang dirumuskan oleh:

r = U2/U1 = U3/U2 = ...

Sedangkan jumlah suku ke-n untuk deret geometri dirumuskan oleh:

Sn = a (1 - rⁿ) / (1 - r).

dengan:

r = rasio

a = U1 = bilangan pertama

n = banyaknya bilangan (1, 2, 3, ....)

Un = bilangan ke-n

Dari konsep di atas, cari rasio barisan geometri.

r = x2/k = k/x1

k² = x1 . x2.

Selanjutnya cari hasil kali akar persamaan kuadrat, x² - (2k² - k - 1)x + (3k+4) = 0 ----> a = 1, b = - (2k² - k - 1), dan c = (3k+4).

x1 . x2 = c/a

x1 . x2 = (3k+4)/1

x1 . x2 = 3k+4.

Sehingga diperoleh:

k² = x1 . x2

k² = 3k+4

k² - 3k - 4 = 0.

Selanjutnya dari pemfaktoran diperoleh akar-akar k yaitu:

k² - 3k - 4 = 0

(k + 1) (k - 4) = 0

k1 = -1 atau k2 = 4.

Substitusi nilai k ke persamaan kuadrat pada soal.

(i) Untuk k1.

x² - (2k² - k - 1)x + (3k+4) = 0

x² - (2(-1)² - (-1) - 1)x + (3(-1)+4) = 0

x² - 2x + 1 = 0

(x - 1) (x - 1 ) = 0

x1 = x2 = 1.

Maka, barisan geometrinya adalah: x1, k, x2 = 1, -1, 1.

Sehingga jumlah n suku pertama dari barisan tersebut adalah:

Sn = a (1 - rⁿ) / (1 - r)

Sn = 1 (1 - (-1)ⁿ) / (1 - (-1))

Sn = (1 - (-1)ⁿ) / 2

Sn = ½ - ½ (-1)ⁿ

Sn = -1/2 (-1)ⁿ + 1/2.

(ii) Untuk k2.

x² - (2k² - k - 1)x + (3k+4) = 0

x² - (2(4)² - (4) - 1)x + (3(4)+4) = 0

x² - 27x + 16 = 0 ---> a = 1, b = -27, dan c = 16

x_{1, 2} = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

x_{1, 2} = [-(-27) ± √((-27)² - 4(1)(16))] / 2(1)

x_{1, 2} = [27 ± √(729 - 64)] / 2

x_{1, 2} = [27 ± √(665)] / 2

x_{1, 2} = [27 ± 25,78] / 2.

Hasil di atas tidak menghasilkan akar-akar x yang merupakan bilangan bulat, sehingga tidak memenuhi ketika k = 4.

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.

Mau pemahaman lebih dalam untuk soal ini?

Pertanyaan serupa