Mencari mean dan valiansinya

Pertanyaan ini berkaitan dengan konsep statistika, khususnya tentang variabel acak kontinu dan fungsi peluang (probability density function, PDF). Variabel acak kontinu X memiliki fungsi peluang f(x) yang didefinisikan sebagai berikut: f(x) = 1/4, untuk 0 ≤ x ≤ 4 f(x) = 0, untuk x lainnya Dari definisi fungsi peluang ini, kita dapat menghitung nilai mean (μ) dan varians (σ²) dari variabel acak X. Penjelasan: 1. Nilai mean (μ) dari variabel acak kontinu dapat dihitung dengan rumus: μ = ∫ x*f(x) dx, di mana integral diambil dari -∞ sampai ∞. Dalam kasus ini, karena f(x) = 0 untuk x 4, maka integral hanya perlu diambil dari 0 sampai 4. Jadi, μ = ∫ x*(1/4) dx, di mana integral diambil dari 0 sampai 4. 2. Nilai varians (σ²) dari variabel acak kontinu dapat dihitung dengan rumus: σ² = ∫ (x - μ)²*f(x) dx, di mana integral diambil dari -∞ sampai ∞. Sama seperti sebelumnya, karena f(x) = 0 untuk x 4, maka integral hanya perlu diambil dari 0 sampai 4. Jadi, σ² = ∫ (x - μ)²*(1/4) dx, di mana integral diambil dari 0 sampai 4. Untuk menghitung nilai mean (μ), kita perlu mengintegrasikan x*f(x) dari 0 sampai 4, dengan f(x) = 1/4. Jadi persamaannya menjadi: μ = ∫ x*(1/4) dx, di mana integral diambil dari 0 sampai 4. Jika kita mengintegrasikan persamaan ini, kita akan mendapatkan: μ = (1/4) * ∫ x dx, di mana integral diambil dari 0 sampai 4. μ = (1/4) * [(1/2) * x^2] dari 0 sampai 4. μ = (1/4) * [(1/2) * 4^2 - (1/2) * 0^2]. μ = (1/4) * [(1/2) * 16 - (1/2) * 0]. μ = (1/4) * [(1/2) * 16]. μ = (1/4) * 8. μ = 2. Jadi, nilai mean (μ) dari variabel acak X adalah 2. Sekarang, mari kita hitung varians (σ²) dari variabel acak X. Untuk menghitung varians (σ²), kita perlu mengintegrasikan (x - μ)²*f(x) dari 0 sampai 4, dengan f(x) = 1/4. Jadi persamaannya menjadi: σ² = ∫ (x - μ)²*(1/4) dx, di mana integral diambil dari 0 sampai 4. Jika kita mengintegrasikan persamaan ini, kita akan mendapatkan: σ² = (1/4) * ∫ (x - 2)² dx, di mana integral diambil dari 0 sampai 4. Jika kita mengintegrasikan persamaan ini, kita akan mendapatkan: σ² = (1/4) * [(1/3) * (x - 2)³] dari 0 sampai 4. σ² = (1/4) * [(1/3) * (4 - 2)³ - (1/3) * (0 - 2)³]. σ² = (1/4) * [(1/3) * 2³ - (1/3) * (-2)³]. σ² = (1/4) * [(1/3) * 8 - (1/3) * (-8)]. σ² = (1/4) * [(8/3) + (8/3)]. σ² = (1/4) * [16/3]. σ² = 4/3. Jadi, nilai varians (σ²) dari variabel acak X adalah 4/3.